1聖マリアンナ医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1)

数学の合計は $6\times 7=42$ であり、既知の 5 人の合計は $8+8+6+8+10=40$ だから、D の数学の得点は 2 点である。
数学の偏差は A〜F の順に $1,\,1,\,-1,\,-5,\,1,\,3$ なので、分散は
$$\dfrac{1+1+1+25+1+9}{6}=\dfrac{19}{3}.$$
物理の平均 5 からの偏差は $0,\,2,\,-1,\,-1,\,-1,\,1$ である。偏差の積の和は $0+2+1+5-1+3=10$、数学の偏差の平方和は 38、物理の偏差の平方和は 8 だから、相関係数は
$$\dfrac{10}{\sqrt{38\cdot 8}}=\dfrac{5\sqrt{19}}{38}.$$

(2)

解と係数の関係から $\alpha+\beta+\gamma=0$ である。また $q=10\sqrt[3]{2}$ とおくと、
$$(q-\alpha)(q-\beta)(q-\gamma)=q^{3}+\sqrt[3]{4}\,q+4=2000+20+4=2024$$
である。

(3)

$(x-a)^{2}$ が $f(x)$ を割り切るので、$f(x)=(x-a)^{2}(x-c)$ と書ける。$t=3-a$、$s=3-c$ とおくと、$f(3)=3$ より $t^{2}s=3$、$f'(3)=1$ より $2ts+t^{2}=1$ である。
$t^{2}s=3$ から $s=\dfrac{3}{t^{2}}$ なので、$2ts+t^{2}=1$ に代入すると $\dfrac{6}{t}+t^{2}=1$、すなわち $t^{3}-t+6=0$ である。
これは $(t+2)(t^{2}-2t+3)=0$ と因数分解できる。$t^{2}-2t+3=(t-1)^{2}+2>0$ だから $t=-2$、したがって $a=5$ である。