1京都大学 2026年 数学 第1問解答・解説

$a>1,\ 0<x<1$ では $\log(a/x)>0$ である。そこで
$$g(x)=x\log(a/x)>0,\qquad f(x)=\frac1{g(x)^2}$$
とおく。微分と両端での極限は
$$g'(x)=\log(a/x)-1,\qquad \lim_{x\to+0}g(x)=0,\qquad\lim_{x\to1-0}g(x)=\log a.$$
最初の極限では $g(x)=x\log a-x\log x$ と問題文の極限を用いた。

場合1：$a\geqq e$
$0<x<1$ で $\log(a/x)>\log a\geqq1$ だから $g'(x)>0$。したがって $f$ は$x$が大きくなると値が必ず小さくなり、異なる$x$に対して同じ値をとらないので、水平線との共有点は高々1個となる。

場合2：$1<a<e$
$x=a/e$ は定義域内にあり、$g$ はこの点まで増加、その後減少する。よって $f$ はこの点まで減少、その後増加する。最小値と両端の極限は
$$f(a/e)=\frac{e^2}{a^2},\qquad \lim_{x\to+0}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to1-0}f(x)=\frac1{(\log a)^2}.$$
右側の増加部分には $x=1$ が含まれないことに注意する。水平線が左右それぞれの部分と1回ずつ交わるための必要十分条件は
$$\frac{e^2}{a^2}<k<\frac1{(\log a)^2}.$$
下端と等しい場合は最小点だけの1個、上端と等しい場合は右側の交点が定義域外となって1個である。

したがって求める集合は
$$\boxed{1<a<e,\qquad \frac{e^2}{a^2}<k<\frac1{(\log a)^2}}.$$
以下の図の着色部分であり、破線の境界はすべて含まない。$a\to1+0$ で上側の曲線は無限大へ伸び、$a\to e-0$ で上下の曲線は $(e,1)$ に近づく。この点も含まない。