5大阪大学 2024年 数学 第5問解答・解説

(1)

$n=p^{a}q^{b}r^{c}$とする。$1$から$n$までのうち$p$の倍数は$\dfrac{n}{p}$個、$q$の倍数は$\dfrac{n}{q}$個、$r$の倍数は$\dfrac{n}{r}$個である。たとえば$p$と$q$の両方の倍数は$\dfrac{n}{pq}$個である。倍数の個数を足したり引いたりして（包除の考え方で）
$$\begin{aligned} f(n)&=n-\dfrac{n}{p}-\dfrac{n}{q}-\dfrac{n}{r}+\dfrac{n}{pq}+\dfrac{n}{pr}+\dfrac{n}{qr}-\dfrac{n}{pqr}\\ &=n\left(1-\dfrac{1}{p}\right)\left(1-\dfrac{1}{q}\right)\left(1-\dfrac{1}{r}\right)\\ &=p^{a-1}q^{b-1}r^{c-1}(p-1)(q-1)(r-1) \end{aligned}$$$$f(n)=n-\frac{n}{p}-\frac{n}{q}-\frac{n}{r}+\frac{n}{pq}+\frac{n}{pr}+\frac{n}{qr}-\frac{n}{pqr}$$$$=n\left(1-\frac{1}{p}\right)\left(1-\frac{1}{q}\right)\left(1-\frac{1}{r}\right)$$$$=p^{a-1}{q}^{b-1}{r}^{c-1}(p-1)(q-1)(r-1)$$
となる。これで示された。

(2)

一般に$n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}$（$p_{i}$は相異なる素数）とすると、同じ計算から
$$f(n)=n\left(1-\dfrac{1}{p_{1}}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{p_{k}}\right),\qquad\dfrac{n}{f(n)}=\dfrac{p_{1}}{p_{1}-1}\times\cdots\times\dfrac{p_{k}}{p_{k}-1}.$$
したがって$f(n)$が$n$の約数であることは、この比が整数であることと同値である。

まず$n$が奇数ならすべての$p_{i}$は奇数である。比を分数
$$\dfrac{p_{1}p_{2}\cdots p_{k}}{(p_{1}-1)(p_{2}-1)\cdots(p_{k}-1)}$$
で見ると、分子は奇数、分母は偶数だから整数にならない。よって該当する$n$は偶数である。

偶数$n$の奇素因数の個数を$k$とする。奇素因数の積を$P$、その$p_{i}-1$の積を$D$とすれば
$$\dfrac{n}{f(n)}=\dfrac{2P}{D}.$$
$k\geqq2$なら$D$は二つ以上の偶数の積なので4の倍数だが、$2P$は4の倍数ではない。よって比は整数にならない。

奇素因数が一つだけなら、それを$p$として、整数条件は$p-1$が$2p$を割り切ることである。$p$と$p-1$は互いに素だから、$p-1$は$2$の約数である。奇素数$p\geqq3$より$p=3$に限る。このとき比は$3$である。奇素因数がない場合は$n=2^{a}$で、比は$2$である。したがって候補は
$$n=2^{a}\quad\text{または}\quad n=2^{a}3^{b}\qquad(a,\,b\geqq1)$$
である。

範囲$5\leqq n\leqq100$で列挙する。2の冪は$8,\,16,\,32,\,64$である。$2^{a}3^{b}$は、$b=1$なら$6,\,12,\,24,\,48,\,96$、$b=2$なら$18,\,36,\,72$、$b=3$なら$54$である。$b\geqq4$では最小の$2\cdot3^{4}=162$が100を超える。これらの形では比がそれぞれ2または3なので、すべて実際に条件を満たす。したがって答えは
$$n=6,\,8,\,12,\,16,\,18,\,24,\,32,\,36,\,48,\,54,\,64,\,72,\,96$$
である。