1北里大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)

$z^{6}=8$ の根の偏角は $\dfrac{k\pi}{3}$ である。実部が正で虚部が負となるものは
$$z=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{3}-i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{6}}{2}i.$$
また $z^{5}=4\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ だから
$$z+z^{5}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}+\dfrac{3\sqrt{6}}{2}i.$$
円の中心 $z$ から実軸までの距離は、$z$ の虚部の絶対値 $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ である。実軸との交点を結ぶ弦の長さより
$$2\sqrt{r^{2}-\dfrac{3}{2}}=\sqrt{30},\qquad r=3.$$
非負の整数 $m,\,n$ に対し、点 $m+ni$ が円の内部にある条件は
$$\left(m-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(n+\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}<9,$$
すなわち
$$m^{2}+n^{2}-\sqrt{2}\,m+\sqrt{6}\,n<7.$$
$n=0$ では $m=0,\,1,\,2,\,3$ の4個、$n=1$ では $m=0,\,1,\,2$ の3個が該当する。$n\geqq2$ では
$$m^{2}-\sqrt{2}\,m+n^{2}+\sqrt{6}\,n\geqq-\dfrac{1}{2}+4+2\sqrt{6}>7$$
なので該当しない。従って個数は $7$ である。

(2)

$u=x$、$v=y-1$ と置くと $u^{2}+v^{2}\leqq1$ である。
$$\dfrac{x-y-1}{x+y-3}=\dfrac{2-u+v}{2-u-v}.$$
分母は $2-u-v\geqq2-\sqrt{2}>0$ である。$\lambda=2+\sqrt{3}$ とすると
$$\lambda(2-u-v)-(2-u+v)=2(\lambda-1)-\{(\lambda-1)u+(\lambda+1)v\}.$$
中かっこの中は、ベクトル $(\lambda-1,\,\lambda+1)$ と $(u,\,v)$ の内積であり、内積は二つのベクトルの大きさの積以下だから、高々
$$\sqrt{(\lambda-1)^{2}+(\lambda+1)^{2}}\,\sqrt{u^{2}+v^{2}}\leqq\sqrt{2(\lambda^{2}+1)}=2(\lambda-1)$$
である。よって最初の比は $\lambda$ 以下で、$(u,\,v)=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ のとき等号となるから、最大値は $2+\sqrt{3}$ である。
$$x(y-1)=uv\leqq\dfrac{u^{2}+v^{2}}{2}\leqq\dfrac{1}{2}.$$
等号は $u=v=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で成り立ち、最大値は $\dfrac{1}{2}$ である。
最後の比は
$$\dfrac{x^{2}-6x+9}{y^{2}-2y-3}=-\dfrac{(3-u)^{2}}{4-v^{2}}.$$
$u\leqq1$ より
$$(3-u)^{2}-(4-v^{2})=(1-u)^{2}+4(1-u)+v^{2}\geqq0.$$
したがってこの比は $-1$ 以下であり、$(u,\,v)=(1,\,0)$ で等号となる。最大値は $-1$ である。

(3)

$\alpha+\beta=6$、$\alpha\beta=-1$ だから
$$A_{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=38,\qquad A_{3}=(\alpha+\beta)^{3}-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=234.$$
各根は $t^{2}=6t+1$ を満たすため、$A_{n+2}=6A_{n+1}+A_{n}$ である。$A_{0}=2$、$A_{1}=6$ としてこの漸化式を 10 で割った余りで計算すると、余りは $2,\,6,\,8,\,4$ の順に周期 4 で繰り返す。さらに $-1<\beta=3-\sqrt{10}<0$ より、$-1<\beta^{111}<0$ なので
$$A_{111}<\alpha^{111}=A_{111}-\beta^{111}<A_{111}+1.$$
従って $K=A_{111}$ である。$111\equiv3\pmod{4}$ より $K$ を 10 で割った余りは $4$ である。

(4)

$5040=2^{4}\cdot3^{2}\cdot5\cdot7$ より、$f(5040)=5\cdot3\cdot2\cdot2=60$ である。
$f(k)=15$ となる素因数の指数の型は $k=p^{14}$ または $k=p^{4}q^{2}$（$p$、$q$ は異なる素数）である。前者の最小は $2^{14}$。後者で素数が $2$、$3$ のときは $2^{4}\cdot3^{2}=144$ と $2^{2}\cdot3^{4}=324$ になり、他の素数の組では最小でも $2^{4}\cdot5^{2}=400$ である。従って 2 番目は $324$ である。

大小 2 つのさいころの目の組は 36 通りで、順序をつけて考える。$f(l)=4$ となる $l$ は $p^{3}$ または異なる 2 つの素数の積であり、1 から 36 の範囲でさいころの目の積として現れるのは
$$l=6,\,8,\,10,\,15.$$
これらを作る目の組はそれぞれ 4 通り、2 通り、2 通り、2 通りで、計 10 通り。確率は $\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}$ である。

$a=f(m)$、$b=f(n)$ とおく。$m$、$n$ は互いに素なので $f(mn)=ab$ であり、条件は
$$ab=3a+5b-13,\qquad\text{すなわち}\quad (a-5)(b-3)=2.$$
$a$、$b$ は正の整数だから、可能性は $(a,b)=(6,5),\,(7,4),\,(4,1),\,(3,2)$ である。$(4,1)$ では $n=1$ であり、$f(m)=4$ を満たす最小の $m$ は $6$ なので $mn=6$ が得られる。他の組では $a\geqq3$、$b\geqq2$ となり $m,\,n\geqq2$ である。互いに素な 2 以上の整数の積が 6 以下となるのは $2$ と $3$ の組だけだが、そのとき $(a,b)=(2,2)$ で候補にない。従って他の組では $mn>6$ である。最小にする組は
$$\boxed{(m,n)=(6,1)}.$$