2高知大学 2024年 数学 第2問解答・解説

$A(x)$ は1000以下の $x$ の倍数全体だから
$$n(A(x))=\left[\frac{1000}{x}\right].$$
また、$x\in A(b)$ は $b$ が $x$ の約数であることを意味する。$1\leqq x\leqq1000$ なので、$B(x)$ は $x$ の正の約数全体である。

(1) $\boxed{n(A(5))=1000/5=200}$。

(2) 重複する倍数を引き、3集合の共通部分を加えると
$$\begin{aligned}n(A(5)\cup A(7)\cup A(11)) &=200+142+90-28-18-12+2\\&=\boxed{376}. \end{aligned}$$$$n(A(5)\cup A(7)\cup A(11))=200+142+90-28-18-12+2$$$$=\boxed{376}.$$
引いた3項は35、55、77の倍数の個数、最後の2は385の倍数の個数である。

(3) $99=3^2\cdot11$ より
$$\boxed{B(99)=\{1,3,9,11,33,99\}}.$$

(4) $x=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ と素因数分解すると、約数の各素因数の指数を0から $a_i$ まで独立に選べるので
$$n(B(x))=(a_1+1)\cdots(a_k+1).$$
これが14なら、14の素因数分解 $2\cdot7$ より $x=p^{13}$ または $p^6q$（$p,q$ は異なる素数）に限られる。
$2^{13}>1000$ なので前者はない。後者も $p\geqq3$ なら $p^6q\geqq3^6\cdot2>1000$ だから、$p=2$。従って
$$q\leqq1000/64<16,\qquad q=3,5,7,11,13.$$
いずれも条件を満たすから
$$\boxed{x=192,320,448,704,832}.$$