2北海道大学 2025年 数学 第2問解答・解説

接点での半径と接線の垂直性を用いて、二つの直角三角形の面積を求める。楕円上では座標の二乗和を評価する。

(1)

円周上の接点を $\mathrm{Q}_{i}=(x_{i},y_{i})$ とする。$|\mathrm{OQ}_{i}|=1$ であり、単位円上の点 $\mathrm{Q}_{i}$ における接線は $x_{i}x+y_{i}y=1$ である。点 $\mathrm{P}=(p,q)$ はこの接線上にあるから、$px_{i}+qy_{i}=1$。したがって $\overrightarrow{\mathrm{Q}_{i}\mathrm{P}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}_{i}}=0$ であり、$\mathrm{PQ}_{i}\perp\mathrm{OQ}_{i}$ である。また
$$|\mathrm{PQ}_{i}|^{2}=|\mathrm{OP}|^{2}+|\mathrm{OQ}_{i}|^{2}-2\,\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}_{i}}=p^{2}+q^{2}-1.$$
四角形は対角線 $\mathrm{OP}$ で $\triangle\mathrm{OPQ}_{1}$ と $\triangle\mathrm{OPQ}_{2}$ に分かれ、各三角形は $\mathrm{Q}_{i}$ で直角なので、その面積は $\dfrac{1}{2}\cdot|\mathrm{OQ}_{i}|\cdot|\mathrm{PQ}_{i}|=\dfrac{1}{2}\sqrt{p^{2}+q^{2}-1}$。よって $S=\sqrt{p^{2}+q^{2}-1}$。

(2)

$\mathrm{P}=(x,y)$ が $\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ 上を動くとする。この式から $x^{2}=2-\dfrac{2}{3}y^{2}$ であり、$0\leqq y^{2}\leqq3$。ゆえに
$$S^{2}=x^{2}+y^{2}-1=1+\dfrac{1}{3}y^{2}$$
は $1\leqq S^{2}\leqq2$ の範囲を動く。したがって $1\leqq S\leqq\sqrt{2}$。最小値 $1$ は $y=0$、$x=\pm\sqrt{2}$ で、最大値 $\sqrt{2}$ は $x=0$、$y=\pm\sqrt{3}$ でそれぞれ達する。