4佐賀大学 2025年 数学 第4問解答・解説

$\alpha=3+4i$ とおく。$|\alpha|^2=25$ だから
$$z\bar z-\bar\alpha z-\alpha\bar z=0 \quad\text{すなわち}\quad (z-\alpha)(\bar z-\bar\alpha)=25 \quad\text{すなわち}\quad |z-\alpha|=5.$$
従って (1) の円は中心 $3+4i$、半径5である。

(2) 正方形の中心はこの円の中心 $\alpha$。原点の対頂点は $2\alpha=6+8i$。他の二頂点は $\alpha$ を中心に $-\alpha$ を $\pm90^\circ$ 回転して得るので
$$\alpha+i(-\alpha)=7+i,\qquad \alpha-i(-\alpha)=-1+7i.$$
よって三頂点は $6+8i,7+i,-1+7i$。

(3) $z-\alpha=x+yi$ とおくと $x^2+y^2=25$、$z=(3+x)+(4+y)i$。辺長は $|O\alpha|=|\alpha z|=5$ なので、非退化な二等辺三角形の底角は鋭角である。従って三角形が鈍角となる条件は頂点 $\alpha$ で鈍角となること。余弦定理で $|z|^2>5^2+5^2=50$ と同値であり、
$$|z|^2=50+6x+8y$$
から $3x+4y>0$。固定したxに対して可能なyの最大値は $\sqrt{25-x^2}$ なので、そのようなyがある条件は
$$3x+4\sqrt{25-x^2}>0.$$
$0\leqq x\leqq5$ では成立する。$-5\leqq x<0$ では両辺を比較して平方でき、これは
$$4\sqrt{25-x^2}>-3x\quad\text{すなわち}\quad16(25-x^2)>9x^2\quad\text{すなわち}\quad x^2<16$$
すなわち $-4<x<0$。従って $-4<x\leqq5$ で、実部 $a=3+x$ は $-1<a\leqq8$。三点が一直線となる退化例は直線 $O\alpha$ 上で、円上の点は $z=0,2\alpha$。前者は鈍角条件を満たさず、後者は条件式を満たすが三角形は退化し実部6なので除く。実部6の円上のもう一つの点は $z=6$ だが、これは $|z|^2=36<50$ で鈍角条件を満たさない。従って実部6は他の点で実現できない。結論は
$$-1<a\leqq8,\qquad a\ne6.$$