6東京大学 2025年 数学 第6問解答・解説

円上の点の逆数を直線Re(w)=1上で実数パラメータ化する。二つの逆数の平方和から放物線領域を導き、その補集合上で平方完成により逆数の実部を評価する。

$z$ が $C$ 上にあるなら $\left|z-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$ だから、$z=x+iy$（$x,\,y$ は実数）とおくと
$$x^{2}+y^{2}-x=0.$$
また $z\ne0$ より $x^{2}+y^{2}>0$。

(1)

$\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}=\dfrac{x-iy}{x^{2}+y^{2}}$ の実部は $\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}$。$x^{2}+y^{2}=x$ より、これは $1$ である。すなわち $\dfrac{1}{z}$ の実部は $1$。

(2)

$\dfrac{1}{\alpha}=1+iu$、$\dfrac{1}{\beta}=1+iv$ と書ける。ただし $u,\,v$ は実数で、$u\ne v$ である。実際、$z=\dfrac{1}{1+iu}=\dfrac{1-iu}{1+u^{2}}$ は、実部も $|z|^{2}$ も $\dfrac{1}{1+u^{2}}$ に等しく、ゆえに $z$ は $C$ 上にある。したがって $u,\,v$ は相異なる任意の実数を動く。
$$\gamma=\dfrac{1}{\alpha^{2}}+\dfrac{1}{\beta^{2}}=2-(u^{2}+v^{2})+2i(u+v)$$
とおき、$\gamma=X+iY$ とする。このとき
$$u^{2}+v^{2}=\dfrac{(u+v)^{2}+(u-v)^{2}}{2} =\dfrac{Y^{2}}{8}+\dfrac{(u-v)^{2}}{2},$$
ゆえに
$$X=2-\dfrac{Y^{2}}{8}-\dfrac{(u-v)^{2}}{2}<2-\dfrac{Y^{2}}{8}.$$
逆に $X<2-\dfrac{Y^{2}}{8}$ なら
$$\delta=\sqrt{\dfrac{2-X-Y^{2}/8}{2}}>0,\qquad u=\dfrac{Y}{4}+\delta,\quad v=\dfrac{Y}{4}-\delta$$
と選べる。この $u,\,v$ は相異なり、対応する $\alpha=\dfrac{1}{1+iu}$、$\beta=\dfrac{1}{1+iv}$ は $C$ 上の相異なる複素数で、その和は $X+iY$ となる。したがって求める範囲は
$$X<2-\dfrac{Y^{2}}{8}\quad(\gamma=X+iY),$$
境界 $X=2-\dfrac{Y^{2}}{8}$ を含まない領域である。

(3)

(2) の範囲に属さない $\gamma=X+iY$ は
$$X\geqq 2-\dfrac{Y^{2}}{8}$$
を満たす。原点は(2)の範囲に含まれるので $\gamma\ne0$ であり、$\dfrac{1}{\gamma}$ の実部は
$$\dfrac{X}{X^{2}+Y^{2}}$$
である。$q=Y^{2}$ とおく。

まず $\dfrac{X}{X^{2}+Y^{2}}\leqq\dfrac{1}{2}$ を示す。$q\geqq1$ なら $(X-1)^{2}+q\geqq1$。$0\leqq q<1$ なら $L=2-\dfrac{q}{8}>1$、$X\geqq L$ であり、
$$X^{2}-2X+q =L^{2}-2L+q+(X-L)(X+L-2) =\dfrac{3q}{4}+\dfrac{q^{2}}{64}+(X-L)(X+L-2)\geqq0.$$
よって常に $(X-1)^{2}+Y^{2}\geqq1$、したがって $2X\leqq X^{2}+Y^{2}$ となり、
$$\dfrac{X}{X^{2}+Y^{2}}\leqq\dfrac{1}{2}.$$
等号は $\gamma=2$ で成り立つ。

次に $\dfrac{X}{X^{2}+Y^{2}}\geqq-\dfrac{1}{16}$ を示す。$q\geqq64$ なら $(X+8)^{2}+q\geqq64$。$0\leqq q<64$ なら $L=2-\dfrac{q}{8}$ とおくと $X\geqq L,\ L+8>0$ なので
$$(X+8)^{2}+q\geqq(L+8)^{2}+q =64+\dfrac{(q-48)^{2}}{64}\geqq64.$$
したがって $X^{2}+16X+Y^{2}\geqq0$、ゆえに
$$\dfrac{X}{X^{2}+Y^{2}}\geqq-\dfrac{1}{16}.$$
等号は $q=48,\ X=L=-4$、すなわち $\gamma=-4\pm4\sqrt{3}\,i$ で成り立つ。これらの値は(2)の範囲の境界上にあり、範囲には含まれない。