IV慶應義塾大学 2023年 数学 第IV問解答・解説

接する円の中心間距離と半径の関係を使い、半角の置換 $t=\tan\dfrac{\theta}{2}$ で式を有理式に直す。面積と周の長さをそれぞれ微分して最大値を判定し、$C_{3}$ は対称性から中心を $x$ 軸上に置いて候補を比較する。

$C_{2}$ の半径を $s$ とする。$P$ の $y$ 座標が $r\sin\theta$ で、$C_{2}$ は $x$ 軸に接するから $s=r\sin\theta$ である。また $C_{2}$ は半径 1 の $C_{1}$ に内接するので、$\mathrm{OP}+s=1$、すなわち $r+s=1$ である。したがって
$$r=\dfrac{1}{1+\sin\theta}.$$
接点 $\mathrm{Q}$ は $C_{1}$ 上で $\mathrm{OP}$ の延長上にあるため $\mathrm{Q}(\cos\theta,\,\sin\theta)$、また $\mathrm{A}(-1,\,0)$ である。直線 $\mathrm{AQ}$ の傾きは
$$t=\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\tan\dfrac{\theta}{2}.$$
半角の公式を用いると
$$r=\dfrac{1+t^{2}}{(1+t)^{2}}.$$
なお $\mathrm{P}$ は第 1 象限にあるので $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$、したがって $0<t<1$ である。

(1) よって $\text{(あ)}=\dfrac{1}{1+\sin\theta}$、$\text{(い)}=\dfrac{1+t^{2}}{(1+t)^{2}}$ である。

(2) $\mathrm{P}(r\cos\theta,\,s)$、$\mathrm{P}'(r\cos\theta,\,-s)$ だから、三角形 $\mathrm{POP}'$ の面積を $K$ とすると
$$K=rs\cos\theta=r^{2}\sin\theta\cos\theta=\dfrac{2t(1-t)}{(1+t)^{3}}.$$
微分すると
$$K'(t)=\dfrac{2(t^{2}-4t+1)}{(1+t)^{4}}.$$
分子の零点は $2-\sqrt{3}$、$2+\sqrt{3}$ であり、$0<t<1$ では $t=2-\sqrt{3}$ の前で増加し、その後減少する。したがって最大となるのは $t=2-\sqrt{3}$、すなわち $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ のときである。（$t=2-\sqrt{3}=\tan\dfrac{\pi}{12}$ より $\theta=\dfrac{\pi}{6}$。）その最大値は
$$K=\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{6}\cos\dfrac{\pi}{6}}{\left(1+\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}.$$
よって $\text{(う)}=\dfrac{\pi}{6}$、$\text{(え)}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}$、$\text{(お)}=2-\sqrt{3}$ である。

(3) $C_{2}$、$C_{2}'$ の中心は $\mathrm{P}(p,\,s)$、$\mathrm{P}'(p,\,-s)$（ただし $p=r\cos\theta$）である。$C_{3}$ は両円に外接するため、その中心は $\mathrm{P}$、$\mathrm{P}'$ から等距離にあり、$x$ 軸上にある。$C_{1}$ に内接する半径 $b$ の円の中心は $(\pm(1-b),\,0)$ と表せる。外接条件は
$$(x-p)^{2}+s^{2}=(b+s)^{2}, \quad\text{すなわち}\quad (x-p)^{2}=b^{2}+2bs$$
である。ここで $p=\dfrac{1-t}{1+t}$、$s=\dfrac{2t}{(1+t)^{2}}$ である。

まず $x=1-b$ の場合は
$$b=\dfrac{(1-p)^{2}}{2(1-p+s)}=\dfrac{t}{2+t}.$$
一方、$x=-(1-b)$ の場合は
$$b=\dfrac{(1+p)^{2}}{2(1+p+s)}=\dfrac{1}{1+2t}.$$
$0<t<1$ より $\dfrac{1}{1+2t}>\dfrac{t}{2+t}$ だから、大きい方の円の半径は
$$b=\dfrac{1}{1+2t}.$$
したがって $\text{(か)}=\dfrac{1}{1+2t}$ である。

(4) 3 円の周の長さの和を $L$ とすると、$C_{2}$、$C_{2}'$ の半径はともに $s$ だから
$$\dfrac{L}{2\pi}=2s+b.$$
$G(t)=2s+b=\dfrac{4t}{(1+t)^{2}}+\dfrac{1}{1+2t}$ とおくと、$\dfrac{L}{2\pi}=G(t)$ である。微分すると
$$G'(t)=\dfrac{4(1-t)}{(1+t)^{3}}-\dfrac{2}{(1+2t)^{2}}.$$
分母は正であり、$G'(t)=0$ は
$$2(1-t)(1+2t)^{2}-(1+t)^{3}=(3t+1)(1-3t^{2})=0$$
と同値である。$0<t<1$ では $t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ の前で増加し、その後減少するため、最大値は $t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のときに得られる。$\tan\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ より $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ である。このとき
$$s=b=\dfrac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=2\sqrt{3}-3, \qquad L=2\pi(3s)=6\pi(2\sqrt{3}-3).$$
よって $\text{(き)}=\dfrac{\pi}{3}$、$\text{(く)}=6\pi(2\sqrt{3}-3)$ である。