琉球大学 2025年数学第4問解答・解説

1問題

琉球大学2025年度第4問

赤玉3個と白玉3個が入っている袋がある。まず3枚のコインを投げ、表が

k

枚出たとき、この袋に赤玉を

k^2

個追加し、次にその袋から玉を2個同時に取り出すという試行を行う。例えば、コイン投げで表が2枚、裏が1枚出たときは、赤玉4個を追加して、赤玉7個と白玉3個が入っている袋から玉を2個同時に取り出す。コイン投げで3枚とも裏が出たときは、赤玉の追加はなく、赤玉3個と白玉3個が入っている袋から玉を2個同時に取り出す。次の問いに答えよ。（50点）
問1 コイン投げで3枚とも表であり、かつ袋から取り出した玉が2個とも赤玉である確率を求めよ。
問2 袋から取り出した玉が2個とも赤玉である確率を求めよ。
問3 袋から取り出した玉が2個とも赤玉であったとき、コイン投げで3枚とも表であったという条件付き確率を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\frac{11}{140}$
(2)
$\frac{27}{70}$
(3)
$\frac{11}{54}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

表の枚数ごとに場合分けし、組合せによる抽出確率を用いて全確率と条件付き確率を求める。

解答

コインで表が

k

枚出る確率は

{}_{3}\mathrm{C}_{k}/8

であり、そのとき袋の赤玉は

3+k^2

個、全体は

6+k^2

個である。したがって、袋から同時に取り出した2個がともに赤玉である確率は

\frac{{}_{3+k^2}\mathrm{C}_{2}}{{}_{6+k^2}\mathrm{C}_{2}}

となる。

問1では

k=3

なので、

\frac{1}{8}\cdot\frac{{}_{12}\mathrm{C}_{2}}{{}_{15}\mathrm{C}_{2}} =\frac{1}{8}\cdot\frac{66}{105} =\frac{11}{140}.

問2では、表の枚数

k=0,1,2,3

の場合に分ける。それぞれの場合の確率と、赤玉を2個取り出す条件付き確率を掛けて足すと、

\begin{aligned} P(\text{赤玉2個}) &=\frac18\cdot\frac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{{}_{6}\mathrm{C}_{2}} +\frac38\cdot\frac{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}{{}_{7}\mathrm{C}_{2}} +\frac38\cdot\frac{{}_{7}\mathrm{C}_{2}}{{}_{10}\mathrm{C}_{2}} +\frac18\cdot\frac{{}_{12}\mathrm{C}_{2}}{{}_{15}\mathrm{C}_{2}}\\ &=\frac{1}{40}+\frac{3}{28}+\frac{7}{40}+\frac{11}{140} =\frac{27}{70}. \end{aligned}

P (赤玉 2 個) = \frac{1}{8} \cdot \frac{_{3} C _{2}}{_{6} C _{2}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{_{4} C _{2}}{_{7} C _{2}} + \frac{3}{8} \cdot \frac{_{7} C _{2}}{_{10} C _{2}} + \frac{1}{8} \cdot \frac{_{12} C _{2}}{_{15} C _{2}} = \frac{1}{40} + \frac{3}{28} + \frac{7}{40} + \frac{11}{140} = \frac{27}{70} .

問3は条件付き確率の定義より、

P_{\text{赤玉2個}}(k=3) =\frac{P(k=3\text{かつ赤玉2個})}{P(\text{赤玉2個})} =\frac{11/140}{27/70} =\frac{11}{54}.

以上より、答えは

(1)\ \frac{11}{140},\ (2)\ \frac{27}{70},\ (3)\ \frac{11}{54}

である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

組合せ
確率の基本法則
独立な試行
条件付き確率

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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2答え

3解答

考え方

解答

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