II日本大学 2025年 数学 第II問解答・解説

第2問

袋には赤玉3個、青玉4個、白玉5個の計12個があり、同時に取り出す2個の組合せは
$${}_{12}\mathrm{C}_{2}=66$$
通りで、どれも同様に確からしい。

(1) 同じ色の2個となる組合せは、赤同士、青同士、白同士のそれぞれ
$${}_{3}\mathrm{C}_{2}=3,\qquad {}_{4}\mathrm{C}_{2}=6,\qquad {}_{5}\mathrm{C}_{2}=10$$
通りである。したがって異なる色となる組合せは
$$66-(3+6+10)=47$$
通りであり、求める確率は
$$\frac{47}{66}.$$
分子・分母に共通因数はないので既約である。

(2) 条件事象（異なる色）の場合の数は47通り。(そのうち)赤玉がちょうど1個含まれる組合せは、赤青が$3\cdot4=12$通り、赤白が$3\cdot5=15$通りなので、計27通りである。従って条件付き確率は
$$\frac{27}{47}.$$

$$\boxed{(1)\ \frac{47}{66},\qquad (2)\ \frac{27}{47}}$$