5北海道大学 2025年 数学 第5問解答・解説

(1)

$k<a<b<c\leqq k+n$ を満たす整数は、$k+1,\,k+2,\,\cdots,\,k+n$ の $n$ 個から異なる 3 個を選ぶことに対応する。したがって総数は
$${}_{n}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$$
である。

(2)

$1\leqq x<y<z\leqq n$ を満たす各組から
$$(a,\,b,\,c)=(n+x,\,n+y,\,n+z)$$
を作る。これは相異なる ${}_{n}\mathrm{C}_{3}$ 個の三つ組であり、$a<b<c\leqq2n$ かつ $a+b=2n+x+y>2n\geqq n+z=c$ だから、すべて $L$ に数えられる。さらに $(n-1,\,n,\,n+1)$ も $1\leqq a<b<c\leqq2n$ を満たし、$a+b=2n-1>n+1=c$（$n\geqq3$）である。この三つ組は先のものと異なる。よって
$$L\geqq{}_{n}\mathrm{C}_{3}+1>{}_{n}\mathrm{C}_{3}.$$