4和歌山県立医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

床関数の定義から閉区間の整数の個数を下端の整数性で表し、長方形では各座標の選び方の積をとる。正方形では床関数を実数で挟み、面積比の極限をはさみうちで求める。

(1) 閉区間 $[1.4,12]$ に属する整数は $2,3,\ldots,12$ であるから $11$ 個である。閉区間 $[1,13.2]$ に属する整数は $1,2,\ldots,13$ であるから $13$ 個である。
(2) 整数 $k$ が $[a,b]$ に属する条件は $a\leqq k\leqq b$ である。$k\geqq a$ を満たす最小の整数は、$a=[a]$ なら $[a]$、$a>[a]$ なら $[a]+1$ である。また $k\leqq b$ を満たす最大の整数は $[b]$ である。よって整数の個数は、$a=[a]$ のとき $[b]-[a]+1$、$a>[a]$ のとき $[b]-[a]$ である。
(3) $M(s,t)$ を区間 $[s,t]$ に属する整数の個数とする。(2) より $M(s,t)=[t]-[s]+1$ ($s=[s]$ のとき)、$M(s,t)=[t]-[s]$ ($s>[s]$ のとき) である。長方形に属する格子点は、$x$ 座標の選び方が $M(a_1,b_1)$ 通り、$y$ 座標の選び方が $M(a_2,b_2)$ 通りあり、それぞれを独立に組み合わせるので、その個数は $M(a_1,b_1)M(a_2,b_2)$ である。したがって求める個数は $([b_1]-[a_1]+\varepsilon(a_1))([b_2]-[a_2]+\varepsilon(a_2))$ である。ただし $\varepsilon(t)=1$ ($t=[t]$)、$0$ ($t>[t]$) とする。
(4) (3) より $N=M(a,2a)^2$ である。床関数の定義から、任意の実数 $t$ について $t-1<[t]\leqq t$ である。そこで $M=M(a,2a)=[2a]-[a]+\varepsilon(a)$ とおくと、$[2a]>2a-1$、$[a]\leqq a$、$[2a]\leqq2a$、$[a]>a-1$ および $0\leqq\varepsilon(a)\leqq1$ から $a-1<M<a+2$ を得る。$a>1$ として $1-1/a<M/a<1+2/a$ であるから、はさみうちにより $M/a\to1$。正方形の面積は $S=a^2$ なので、$N/S=(M/a)^2\to1$ である。