1東京医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

循環小数と二項係数和は既知の表示と差の形を使い、複素数の偏角は加法、逆関数の導関数は合成関数の微分から求めた。

(1) 循環節の値は $32_{(5)}=3\cdot5+2=17$ である。したがって
$$0.\dot{3}\dot{2}_{(5)}=\frac{17}{5^2-1}=\frac{17}{24},\qquad x=4+\frac{17}{24}=\frac{113}{24}.$$

(2) $n\geqq3$ に対して
$$\frac1{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}=\frac{6}{n(n-1)(n-2)}=\frac32\left(\frac1{{}_{n-1}\mathrm{C}_{2}}-\frac1{{}_{n}\mathrm{C}_{2}}\right)$$
であるから、和は望ましい形に消去され、
$$\sum_{n=3}^{15}\frac1{{}_{n}\mathrm{C}_{3}}=\frac32\left(\frac1{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}-\frac1{{}_{15}\mathrm{C}_{2}}\right)=\frac32\left(1-\frac1{105}\right)=\frac{52}{35}.$$

(3) $\alpha$ は第4象限にあり、$\tan\arg\alpha=-\sqrt{2/6}=-1/\sqrt3$ より、$0\leqq\theta<2\pi$ での偏角は $11\pi/6$ である。また $\beta=5+5i$ の偏角は $\pi/4$ である。よって
$$\arg(\alpha\beta)=\frac{11\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{25\pi}{12}\equiv\frac{\pi}{12}\pmod{2\pi}.$$
積の偏角を2024倍すると $2024\cdot\pi/12=506\pi/3$ であり、$2\pi$ を法として $2\pi/3$ となる。

(4) $f'(x)=e^x(x+1)>0\ (x>0)$ なので逆関数が定まり、$f(1/2)=\sqrt e/2=a$ から $g(a)=1/2$ である。恒等式 $f(g(y))=y$ を微分すると $f'(g(y))g'(y)=1$ だから、
$$g'(a)=\frac1{f'(1/2)}=\frac1{(3/2)\sqrt e}=\frac{2}{3\sqrt e}.$$