1熊本大学 2024年 数学 第1問解答・解説

$n$ 個の袋 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ がある。$A_{k}\ (1\leqq k\leqq n)$ の中には白玉が $k$ 個、黒玉が $n-k$ 個入っている。次の操作を考える。
(操作1) $n$ 個の袋から無作為に1つの袋を選び、それを $A$ とおく。
(操作2) 次の試行を $s$ 回繰り返す。袋 $A$ から無作為に玉を1個取り出し、玉の色を調べてから取り出した玉を袋 $A$ に戻す。
以下の問いに答えよ。
(問1) $s=2$ とする。操作を行うとき、白玉がちょうど1回取り出される確率を $n$ を用いて表せ。
(問2) $s=100$ とする。操作1を行った結果、$A=A_{k}$ であった。このとき、操作2で白玉がちょうど $t$ 回取り出される条件付き確率を $p(t)$ とする。$n=3k$ が成り立つとき、$p(t)$ を最大にする $t$ の値を求めよ。
(問3) $s=10$ とする。操作を行うとき、白玉がちょうど3回取り出される確率を $q_{n}$ とする。このとき、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}q_{n}$ を求めよ。