3大阪公立大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1)

ユークリッドの互除法で
$$11=7+4,\qquad 7=4+3,\qquad 4=3+1.$$
これを逆にたどると
$$1=4-3=2\cdot 4-7=2(11-7)-7=2\cdot 11-3\cdot 7.$$
したがって $(x,y)=(-3,\,2)$ は $7x+11y=1$ を満たす。

(2)

任意の整数 $x,\,y$ に対して
$$6x+9y=3(2x+3y)$$
は 3 の倍数である。1 は 3 の倍数ではないため、$6x+9y=1$ を満たす整数 $x,\,y$ は存在しない。

(3)

$\omega_{n}=\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n}$ とおく。三角関数の加法定理を繰り返し用いると
$$\omega_{n}^{k}=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n}$$
である（負の整数 $k$ に対しても、$\omega_{n}\ne 0$ の逆数を用いて成り立つ）。また
$$\omega_{pq}^{\,q}=\omega_{p},\qquad \omega_{pq}^{\,p}=\omega_{q}.$$
$px+qy=1$ を満たす整数 $x,\,y$ があると仮定する。任意の $z\in X_{pq}$ を取ると、ある整数 $k$ によって $z=\omega_{pq}^{\,k}$ と書ける。よって
$$\begin{aligned} z&=\omega_{pq}^{\,k(px+qy)}\\ &=(\omega_{pq}^{\,q})^{ky}(\omega_{pq}^{\,p})^{kx}\\ &=\omega_{p}^{\,ky}\,\omega_{q}^{\,kx}. \end{aligned}$$$$z={\omega }_{pq}^{k(px+qy)}$$$$=({\omega }_{pq}^q{)}^{ky}({\omega }_{pq}^p{)}^{kx}$$$$={\omega }_p^{ky}{\omega }_q^{kx}.$$
$ky,\,kx$ は整数なので、$\omega_{p}^{\,ky}\in X_{p}$、$\omega_{q}^{\,kx}\in X_{q}$ である。したがって $z$ は $X_{p}$ の数と $X_{q}$ の数の積で表される。$z$ は任意だったから、これは $X_{pq}$ のすべての数について成り立つ。

(4)

$\omega_{n}$ を問 3 の数とする。仮定より、ある整数 $u,\,v$ があって
$$\omega_{pq}=\omega_{p}^{\,u}\omega_{q}^{\,v} =(\omega_{pq}^{\,q})^{u}(\omega_{pq}^{\,p})^{v} =\omega_{pq}^{\,qu+pv}.$$
三角関数の加法定理から、$\omega_{pq}^{\,m}=1$ となるのは $m$ が $pq$ の倍数のときに限る。したがって $qu+pv-1$ は $pq$ の倍数である。

$p,\,q$ の共通の正の約数を $d$ とする。$d$ は $p$ の約数かつ $q$ の約数なので、$d$ は $qu+pv$ の約数である。また $d$ は $pq$ の約数であり、$qu+pv-1$ は $pq$ の倍数なので、$d$ は $qu+pv-1$ の約数でもある。両者の差 $(qu+pv)-(qu+pv-1)=1$ も $d$ の約数となるから、$d=1$ である。よって $p$ と $q$ は互いに素である。

$\boxed{\text{問4 }p\text{ と }q\text{ は互いに素}}$

用いた考え方は、ユークリッドの互除法、3 の倍数による整数方程式の判定、三角関数の加法定理と整数べき、共通約数の議論である。