2和歌山県立医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

平方の実部・虚部を比較して二乗和と積を求める。一般の平方根は極形式と倍角公式で表し、複素平面を回転させて三角形の底辺と高さを計算する。

(1) $z=x+yi$ を $z^2=\alpha=a+bi$ に代入すると、$$x^2-y^2=a,\qquad 2xy=b$$ となる。両式を用いて$$(x^2+y^2)^2=(x^2-y^2)^2+(2xy)^2=a^2+b^2$$を得る。$x^2+y^2\geqq0$ だから $x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}$ である。これと $x^2-y^2=a$ を加減して$$x^2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2},\qquad y^2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}.$$ 特に $a=b=-\sqrt2$ のとき、$\sqrt{a^2+b^2}=2$ より $x^2=1-\frac{\sqrt2}{2}$、$y^2=1+\frac{\sqrt2}{2}$ である。また $2xy=-\sqrt2$ なので $xy<0$、すなわち $x,y$ は異符号である。したがって$$z=\pm\left(\sqrt{1-\frac{\sqrt2}{2}}-i\sqrt{1+\frac{\sqrt2}{2}}\right).$$ 実際、括弧内の実部を $u$、虚部を $v$ とすれば $u^2-v^2=-\sqrt2$、$2uv=-\sqrt2$ だから、その平方は $-\sqrt2-\sqrt2i$ であり、符号を反転したものも同じ平方をもつ。
(2) $r>0$ とし、$w=\sqrt r(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2})$ とおく。倍角公式より $w^2=r(\cos\theta+i\sin\theta)=\alpha$ である。複素数の平方が $\alpha$ となるものは $w$ と $-w$ であり、求める二つの複素数は$$z=\pm\sqrt r\left(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}\right).$$ 面積を求めるため、複素平面を角 $-\theta/2$ だけ回転する。この回転で頂点 $z,-z$ は実軸上の $\sqrt r,-\sqrt r$ に移り、$\alpha$ は $r(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2})$ に移る。従って底辺の長さは $2\sqrt r$、その直線から第3頂点までの高さは $r|\sin\frac{\theta}{2}|$ である。よって$$S=\frac12\cdot2\sqrt r\cdot r\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|=r^{3/2}\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|.$$ $\theta$ の取り方を $2\pi$ だけ変えても絶対値は変わらない。$\alpha$ が正の実数でない条件の下ではこの面積は正である。