5秋田大学 2022年 数学 第5問解答・解説

次の問いに答えなさい。ただし、$\log$ は自然対数を表し、$e$ は自然対数の底とする。

(i) $1<a<e$ を満たす実数 $a$ に対して $\displaystyle \int_{a}^{e}\frac{dx}{x(\log x)^{2}} = 1$ が成り立つとき、a の値を求めなさい。

(ii) $x>1$ における曲線 $y = (\log x)^{3}$ の接線 $\ell$ が原点 O を通るとき、$\ell$ の方程式を求めなさい。

(iii) $t$ を $t>1$ を満たす実数とする。曲線 $y = (\log x)^{3}$ 上の点 $P(t, (\log t)^{3})$ における接線と x 軸との交点の x 座標を $g(t)$ とする。実数 $k$ に対して、$t>1$ における方程式 $g(t) = k$ が異なる 2 つの実数解をもつとき、k のとりうる値の範囲を求めなさい。