3秋田大学 2022年 数学 第3問解答・解説

次の問いに答えなさい。

(i) 円 $C_{1}:x^{2}-4x+y^{2}-6y+9=0$ がある。直線 $y=x$ に関して円 $C_{1}$ と対称な位置にある円 $C_{2}$ の方程式を求めなさい。

(ii) $x,\,y$ が不等式 $x^{2}-4x+y^{2}-6y+9\leqq0$ を満たすとき、$y-x$ の最大値と最小値を求めなさい。

(iii) $a$ を実数とする。不等式 $x^{2}-4x+y^{2}-6y+9<0$、$x^{2}-2ax+y^{2}-2ay+2a^{2}-1<0$ が表す座標平面上の領域をそれぞれ $D_{1}$、$D_{2}$ とする。$D_{2}$ が $D_{1}$ に含まれるとき、$a$ のとりうる値の範囲を求めなさい。