8秋田大学 2022年 数学 第8問解答・解説

(i) $x=e^{-a\theta}\cos\theta$、$y=e^{-a\theta}\sin\theta$ を微分すると
$$x'=e^{-a\theta}(-a\cos\theta-\sin\theta),\qquad y'=e^{-a\theta}(-a\sin\theta+\cos\theta).$$
したがって速さは $\sqrt{x'^2+y'^2}=\sqrt{1+a^2}\,e^{-a\theta}$。よって
$$L=\int_0^{2\pi}\sqrt{1+a^2}\,e^{-a\theta}\,d\theta =\frac{\sqrt{1+a^2}}{a}(1-e^{-2\pi a}).$$

(ii) $a=\sqrt3$ のとき
$$y'=e^{-\sqrt3\theta}(\cos\theta-\sqrt3\sin\theta).$$
区間内の停留点は $\theta=\frac\pi6,\frac{7\pi}6$。前者で極大、後者で極小となり、両端では $y=0$。したがって最大値は
$$y\left(\frac\pi6\right)=\frac12e^{-\pi\sqrt3/6}.$$

(iii) $a=1$、$c=\cos\theta$、$s=\sin\theta$、$r=e^{-\theta}$ とおく。接線の傾きは
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{c-s}{c+s}.$$
接線のx切片を $X$、y切片を $Y$ とすると、点 $(rc,rs)$ を通るので
$$X=rc-\frac{rs}{dy/dx}=\frac{r}{c-s},\qquad Y=rs-\frac{dy}{dx}rc=\frac{r}{c+s}.$$
$0\leqq\theta<\frac\pi4$ では両切片は正であり、三角形の面積は
$$A(\theta)=\frac12XY=\frac{e^{-2\theta}}{2\cos2\theta}.$$
その導関数は
$$A'(\theta)=\frac{e^{-2\theta}}{\cos2\theta}(\tan2\theta-1).$$
$\tan2\theta$ は区間で増加し、1となるのは $\theta=\frac\pi8$。よって面積はそこまで減少し、その後増加する（$\theta\to\frac\pi4-0$ で発散する）。最小値は
$$A\left(\frac\pi8\right)=\frac{e^{-\pi/4}}{\sqrt2}.$$