白衣のものさし
数学 過去問問題を探す

秋田大学／2022年度

2秋田大学 2022年 数学 第2問解答・解説

数列図形と計量

難易度勝負 レベル 4/10 目安 20分編集部の評価

対象教育文化医学科は解かない

1問題

秋田大学2022年度第2問
1 辺の長さが 1 の正三角形 A1B1C1\mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1} がある。正三角形 A1B1C1\mathrm{A}_{1}\mathrm{B}_{1}\mathrm{C}_{1} から始めて、順に nn 番目の正三角形 AnBnCn\mathrm{A}_{n}\mathrm{B}_{n}\mathrm{C}_{n} から n+1n+1 番目の正三角形 An+1Bn+1Cn+1\mathrm{A}_{n+1}\mathrm{B}_{n+1}\mathrm{C}_{n+1} を作ることを考える (n=1, 2, 3, ⋯ )(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)。次の問いに答えなさい。

(i) 辺 AnBn\mathrm{A}_{n}\mathrm{B}_{n}、BnCn\mathrm{B}_{n}\mathrm{C}_{n}、CnAn\mathrm{C}_{n}\mathrm{A}_{n} の中点をそれぞれ An+1\mathrm{A}_{n+1}、Bn+1\mathrm{B}_{n+1}、Cn+1\mathrm{C}_{n+1} とする。△AnBnCn\triangle\mathrm{A}_{n}\mathrm{B}_{n}\mathrm{C}_{n} の面積 SnS_{n} を nn を用いて表しなさい。

(ii) rr を 0<r<10<r<1 を満たす実数とする。辺 AnBn\mathrm{A}_{n}\mathrm{B}_{n}、BnCn\mathrm{B}_{n}\mathrm{C}_{n}、CnAn\mathrm{C}_{n}\mathrm{A}_{n} を r:1−rr:1-r に内分する点をそれぞれ An+1\mathrm{A}_{n+1}、Bn+1\mathrm{B}_{n+1}、Cn+1\mathrm{C}_{n+1} とする。△AnBnCn\triangle\mathrm{A}_{n}\mathrm{B}_{n}\mathrm{C}_{n} の面積 SnS_{n} を rr と nn を用いて表しなさい。

(iii) 辺 AnBn\mathrm{A}_{n}\mathrm{B}_{n}、BnCn\mathrm{B}_{n}\mathrm{C}_{n}、CnAn\mathrm{C}_{n}\mathrm{A}_{n} を 1:21:2 に外分する点をそれぞれ An+1\mathrm{A}_{n+1}、Bn+1\mathrm{B}_{n+1}、Cn+1\mathrm{C}_{n+1} とする。△AnBnCn\triangle\mathrm{A}_{n}\mathrm{B}_{n}\mathrm{C}_{n} の周の長さを TnT_{n} とするとき、∑k=1nTk\displaystyle\sum_{k=1}^{n}T_{k} を求めなさい。

出典：秋田大学 2022年度 数学 第2問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (i)
    Sn=34(14)n−1S_{n}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}
  • (ii)
    Sn=34(3r2−3r+1)n−1S_{n}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}(3r^{2}-3r+1)^{n-1}
  • (iii)
    ∑k=1nTk=(7+1){(7)n−1}2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}T_{k}=\dfrac{(\sqrt{7}+1)\{(\sqrt{7})^{n}-1\}}{2}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

どの作り方でも、新しい三角形は正三角形になる。1 辺の長さが何倍になるかを余弦定理で求めれば、面積や周の長さは等比数列になる。

解答

△AnBnCn\triangle\mathrm{A}_{n}\mathrm{B}_{n}\mathrm{C}_{n} の 1 辺の長さを ana_{n} とする（a1=1a_{1}=1）。どの作り方でも、3 つの角の部分は合同な三角形になるので、新しい三角形も正三角形である。

(i)

中点を結ぶと an+1=12ana_{n+1}=\dfrac{1}{2}a_{n} だから、面積は 14\dfrac{1}{4} 倍ずつになり
Sn=34(14)n−1. S_{n}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}.

(ii)

BnAn+1=(1−r)an\mathrm{B}_{n}\mathrm{A}_{n+1}=(1-r)a_{n}、BnBn+1=ran\mathrm{B}_{n}\mathrm{B}_{n+1}=ra_{n}、∠AnBnCn=60∘\angle\mathrm{A}_{n}\mathrm{B}_{n}\mathrm{C}_{n}=60^{\circ} だから、余弦定理より
an+12=(1−r)2an2+r2an2−r(1−r)an2=(3r2−3r+1)an2. a_{n+1}^{2}=(1-r)^{2}a_{n}^{2}+r^{2}a_{n}^{2}-r(1-r)a_{n}^{2}=(3r^{2}-3r+1)a_{n}^{2}.
面積は 3r2−3r+13r^{2}-3r+1 倍ずつになるので
Sn=34(3r2−3r+1)n−1. S_{n}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}(3r^{2}-3r+1)^{n-1}.

(iii)

An+1\mathrm{A}_{n+1} は辺 AnBn\mathrm{A}_{n}\mathrm{B}_{n} の An\mathrm{A}_{n} の側の延長上で AnAn+1=an\mathrm{A}_{n}\mathrm{A}_{n+1}=a_{n} の点、Bn+1\mathrm{B}_{n+1} は辺 BnCn\mathrm{B}_{n}\mathrm{C}_{n} の Bn\mathrm{B}_{n} の側の延長上で BnBn+1=an\mathrm{B}_{n}\mathrm{B}_{n+1}=a_{n} の点である。△An+1BnBn+1\triangle\mathrm{A}_{n+1}\mathrm{B}_{n}\mathrm{B}_{n+1} で BnAn+1=2an\mathrm{B}_{n}\mathrm{A}_{n+1}=2a_{n}、BnBn+1=an\mathrm{B}_{n}\mathrm{B}_{n+1}=a_{n}、その間の角は 180∘−60∘=120∘180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ} だから
an+12=4an2+an2+2an2=7an2. a_{n+1}^{2}=4a_{n}^{2}+a_{n}^{2}+2a_{n}^{2}=7a_{n}^{2}.
よって an=(7)n−1a_{n}=(\sqrt{7})^{n-1}、Tn=3(7)n−1T_{n}=3(\sqrt{7})^{n-1} で
∑k=1nTk=3{(7)n−1}7−1=(7+1){(7)n−1}2. \sum_{k=1}^{n}T_{k}=\dfrac{3\{(\sqrt{7})^{n}-1\}}{\sqrt{7}-1}=\dfrac{(\sqrt{7}+1)\{(\sqrt{7})^{n}-1\}}{2}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 等比数列の和
  • 余弦定理
  • 相似比と面積比

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

この問題、本番の試験なら？

まだない教材・つくるか検討中

秋田大学 数学 解き方の作戦パック

  • 過去 10 年分の全大問に、レベル・目安時間・「必答／勝負／捨て可」
  • 年度ごとの「この順番で解く」と時間配分
  • 各問の発想の由来と、ほかの大学の似た問題

押すだけ・無料・登録なし

見本：東京大学 2026 年度の作戦を見る →

次にやること

同じ年度の次の問題第3問へ進む図形と方程式

秋田大学のほかの年度

202520242023

似た問題を、ほかの大学で