1熊本大学 2022年 数学 第1問解答・解説

三角形の重心の座標は各頂点の座標の平均であるから、
$$G_1=\left(\frac a3,\frac13,1\right),\qquad G_2=\left(\frac{a+1}{3},\frac13,1\right)$$である。

(問1) $\overrightarrow{P_1P_2}=(1,0,0)$、$\overrightarrow{G_1G_2}=(\frac13,0,0)$ であり、両者は零ベクトルでない平行なベクトルである。したがって直線 $P_1P_2$ と直線 $G_1G_2$ は平行である。

(問2) 四角形の二つの平行な辺の長さは
$$|P_1P_2|=1,\qquad |G_1G_2|=\frac13$$である。
これらの辺を含む二直線はx軸に平行であり、その間の距離はy,z座標の差から
$$d=\sqrt{\left(\frac13\right)^2+1^2}=\frac{\sqrt{10}}{3}$$となる。
よって台形の面積は
$$\frac{1+\frac13}{2}d=\frac23\cdot\frac{\sqrt{10}}3=\frac{2\sqrt{10}}9.$$

(問3) 底面の四頂点はすべて平面 $z=3y$ 上にある。実際、$P_1,P_2$ では $y=z=0$ であり、$G_1,G_2$ では $(y,z)=(\frac13,1)$ である。平面 $z=3y$ の法線ベクトルは $(0,-3,1)$ である。$Q$ から底面の平面に下ろした垂線の足を $H$ とし、$\overrightarrow{QH}=t(0,-3,1)$ とおくと
$$H=(0,1-3t,t)$$
である。$H$ が $z=3y$ を満たすことから $t=3(1-3t)$、したがって $t=\frac{3}{10}$ となる。
よって高さは
$$|QH|=\frac{3}{10}\sqrt{(-3)^2+1^2}=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$
したがって四角錐の体積は
$$\frac13\cdot\frac{2\sqrt{10}}9\cdot\frac3{\sqrt{10}}=\frac29.$$