新潟大学／2026年度
3新潟大学 2026年 数学 第3問解答・解説
数列
1問題
新潟大学2026年度第3問
数列
{an} の初項から第
n 項までの和
Sn が
Sn=32an+2⋅3n−2(n=1,2,3,⋯)を満たすとする。次の問いに答えよ。
(1)
S1、
S2、
S3 の値をそれぞれ求めよ。
(2)
Sn+1 を
Sn と
n を用いて表せ。
(3)
Tn=(−2)nSn とおくとき、
Tn を
n を用いて表せ。
(4) 数列
{an} の一般項を求めよ。
まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。
2答え
答えを見る自分の答えと照らし合わせる
(1)S1=2, S2=2, S3=14。
(2)Sn+1=2⋅3n−2Sn。
(3)Tn=52((−23)n−1)。
(4)an=54⋅3n−1+56(−2)n−1（
n≧1）。
3解答
解答を見る途中式つきの解答
考え方
部分和に関する一次漸化式へ直し、変数変換で等比数列の和に帰着してから隣接する部分和の差を取る。
解答
(1)
S1=a1、
S1=32a1+32 より
S1=2 である。
n≧2 のとき
Sn=32(Sn−Sn−1)+2⋅3n−2 より
Sn=2⋅3n−1−2Sn−1 である。
よって
S2=2⋅3−2S1=2、
S3=2⋅32−2S2=14 である。
(2)
Sn+1=2⋅3n−2Sn(n≧1) である。
(3)
T1Tn+1Tn=−1,=(−2)n+12⋅3n−2Sn=Tn−(−23)n,=−1−k=1∑n−1(−23)k=52((−23)n−1).T1=−1,Tn+1=(−2)n+12⋅3n−2Sn=Tn−(−23)n,Tn=−1−k=1∑n−1(−23)k=52((−23)n−1).(4)
Sna1an=(−2)nTn=52(3n−(−2)n),=S1=2,=Sn−Sn−1=54⋅3n−1+56(−2)n−1(n≧2).Sn=(−2)nTn=52(3n−(−2)n),a1=S1=2,an=Sn−Sn−1=54⋅3n−1+56(−2)n−1(n≧2).最後の式は
a1=2 も満たすので、すべての
n≧1 について成り立つ。
読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。
答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。
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白衣のものさし