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筑波大学／2023年度

3筑波大学 2023年 数学 第3問解答・解説

ベクトル

1問題

筑波大学2023年度第3問
座標空間内の原点 O を中心とする半径 rr の球面 SS 上に 4 つの頂点がある四面体 ABCD が、OA→+OB→+OC→+OD→=0→ \overrightarrow {\mathrm{OA}} + \overrightarrow {\mathrm{OB}} + \overrightarrow {\mathrm{OC}} + \overrightarrow {\mathrm{OD}} = \overrightarrow {0}

を満たしているとする。また三角形 ABC の重心を G とする。

(1) OG→\overrightarrow{OG} を OD→\overrightarrow{OD} を用いて表せ。

(2) OA→⋅OB→+OB→⋅OC→+OC→⋅OA→\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} を r を用いて表せ。

(3) 点 P が球面 S 上を動くとき、PA→⋅PB→+PB→⋅PC→+PC→⋅PA→\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PC} \cdot \overrightarrow{PA} の最大値を rr を用いて表せ。さらに、最大値をとるときの点 P に対して、∣PG→∣|\overrightarrow{PG}| を rr を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    OG→=−13OD→\overrightarrow{\mathrm{OG}}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OD}}。
  • (2)
    −r2-r^{2}。
  • (3)
    最大値 4r24r^{2}（P=D\mathrm{P}=\mathrm{D}のとき）、∣PG→∣=43r|\overrightarrow{\mathrm{PG}}|=\dfrac{4}{3}r。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

位置ベクトルの和の条件から重心と内積の和を求め、P を含む内積を展開する。大きさの 2 乗が 0 以上であることを使って最大値と等号条件を示す。

解答

(1)

a⃗=OA→\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}、b⃗=OB→\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}、c⃗=OC→\vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}、d⃗=OD→\vec{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}} とおく。G は △ABC\triangle\mathrm{ABC} の重心だから、
OG→=a⃗+b⃗+c⃗3=−d⃗3=−13OD→. \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}=-\dfrac{\vec{d}}{3}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OD}}.

(2)

∣a⃗∣=∣b⃗∣=∣c⃗∣=∣d⃗∣=r|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=|\vec{d}|=r で、a⃗+b⃗+c⃗=−d⃗\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=-\vec{d} である。S=a⃗⋅b⃗+b⃗⋅c⃗+c⃗⋅a⃗S=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{a} とおくと、
r2=∣d⃗∣2=∣a⃗+b⃗+c⃗∣2=3r2+2S r^{2}=|\vec{d}|^{2}=|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^{2}=3r^{2}+2S
よって S=−r2S=-r^{2} である。

(3)

p⃗=OP→\vec{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}} とおけば ∣p⃗∣=r|\vec{p}|=r である。求める式を EE とすると、内積を展開して
E=S−2p⃗⋅(a⃗+b⃗+c⃗)+3∣p⃗∣2=−r2+2p⃗⋅d⃗+3r2=2r2+2p⃗⋅d⃗. E=S-2\vec{p}\cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})+3|\vec{p}|^{2}=-r^{2}+2\vec{p}\cdot\vec{d}+3r^{2}=2r^{2}+2\vec{p}\cdot\vec{d}.
さらに、
0≦∣p⃗−d⃗∣2=2r2−2p⃗⋅d⃗ 0\leqq|\vec{p}-\vec{d}|^{2}=2r^{2}-2\vec{p}\cdot\vec{d}
より p⃗⋅d⃗≦r2\vec{p}\cdot\vec{d}\leqq r^{2} である。したがって E≦4r2E\leqq4r^{2} であり、P=D\mathrm{P}=\mathrm{D}（すなわち p⃗=d⃗\vec{p}=\vec{d}）のとき等号が成り立つ。最大値は 4r24r^{2} である。
このとき
PG→=OG→−OP→=−43d⃗ \overrightarrow{\mathrm{PG}}=\overrightarrow{\mathrm{OG}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}=-\dfrac{4}{3}\vec{d}
だから、∣PG→∣=43r|\overrightarrow{\mathrm{PG}}|=\dfrac{4}{3}r である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • ベクトルの和・差・実数倍
  • 位置ベクトル
  • ベクトルの内積
  • 空間座標と空間ベクトル
  • ベクトルによる図形の考察

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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