白衣のものさし
医学部数学 過去問問題を探す

筑波大学／2023年度

4筑波大学 2023年 数学 第4問解答・解説

三角関数いろいろな式積分法

1問題

筑波大学2023年度第4問
aa、bb を実数とし、f(x)=x+asin⁡xf(x)=x+a\sin x , g(x)=bcos⁡xg(x)=b\cos x とする。

(1) 定積分 ∫−ππf(x)g(x) dx\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(x)\,dx を求めよ。

(2) 不等式

∫−ππ{f(x)+g(x)}2 dx≧∫−ππ{f(x)}2 dx \int_{-\pi}^{\pi}\{f(x)+g(x)\}^{2}\,dx\geqq\int_{-\pi}^{\pi}\{f(x)\}^{2}\,dx

が成り立つことを示せ。

(3) 曲線 y=∣f(x)+g(x)∣y = |f(x) + g(x)| 、2 直線 x=−π,x=πx = -\pi, x = \pi 、および xx 軸で囲まれた図形を xx 軸の周りに 1 回転させてできる回転体の体積を VV とする。このとき不等式

V≧23π2(π2−6) V \geqq \frac {2}{3} \pi^ {2} (\pi^ {2} - 6)

が成り立つことを示せ。さらに、等号が成立するときのaa、bb を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    ∫−ππf(x)g(x) dx=0\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\,dx=0。
  • (2)
    ∫−ππ(f+g)2 dx−∫−ππf2 dx=πb2≧0\int_{-\pi}^{\pi}(f+g)^2\,dx-\int_{-\pi}^{\pi}f^2\,dx=\pi b^2\geqq0。
  • (3)
    V=23π2(π2−6)+π2{(a+2)2+b2}≧23π2(π2−6)V=\frac{2}{3}\pi^{2}(\pi^{2}-6)+\pi^{2}\{(a+2)^{2}+b^{2}\}\geqq\frac{2}{3}\pi^{2}(\pi^{2}-6)、等号成立は (a,b)=(−2,0)(a,b)=(-2,0)。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) f(x)g(x)=bxcos⁡x+absin⁡xcos⁡xf(x)g(x)=b x\cos x+ab\sin x\cos x である。xcos⁡xx\cos x と sin⁡xcos⁡x\sin x\cos x はともに奇関数なので、対称区間での積分は 00 となる。したがって
∫−ππf(x)g(x) dx=0. \int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\,dx=0.

(2) (1) と ∫−ππcos⁡2x dx=π\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2x\,dx=\pi より
∫−ππ(f+g)2 dx−∫−ππf2 dx=2∫−ππfg dx+∫−ππg2 dx=πb2≧0. \int_{-\pi}^{\pi}(f+g)^2\,dx-\int_{-\pi}^{\pi}f^2\,dx =2\int_{-\pi}^{\pi}fg\,dx+\int_{-\pi}^{\pi}g^2\,dx =\pi b^2\geqq0.
よって示された。

(3) 回転体の断面積は π∣f(x)+g(x)∣2\pi|f(x)+g(x)|^2 なので
V=π∫−ππ(f+g)2 dx. V=\pi\int_{-\pi}^{\pi}(f+g)^2\,dx.
(1) から ∫(f+g)2=∫f2+∫g2\int(f+g)^2=\int f^2+\int g^2 であり、部分積分と三角関数の積分により
∫−ππx2 dx=2π33,∫−ππxsin⁡x dx=2π,∫−ππsin⁡2x dx=∫−ππcos⁡2x dx=π. \int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx=\frac{2\pi^3}{3},\qquad \int_{-\pi}^{\pi}x\sin x\,dx=2\pi,\qquad \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2x\,dx=\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2x\,dx=\pi.
したがって
V=π(∫−ππ(x+asin⁡x)2 dx+∫−ππb2cos⁡2x dx)=23π4+4π2a+π2a2+π2b2=23π2(π2−6)+π2{(a+2)2+b2}≧23π2(π2−6). \begin{aligned} V&=\pi\left(\int_{-\pi}^{\pi}(x+a\sin x)^2\,dx+\int_{-\pi}^{\pi}b^2\cos^2x\,dx\right)\\ &=\frac23\pi^4+4\pi^2a+\pi^2a^2+\pi^2b^2\\ &=\frac23\pi^2(\pi^2-6)+\pi^2\{(a+2)^2+b^2\}\\ &\geqq\frac23\pi^2(\pi^2-6). \end{aligned}
等号成立は (a+2)2=b2=0(a+2)^2=b^2=0 のとき、すなわち a=−2, b=0a=-2,\ b=0 である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 奇偶性
  • 定積分
  • 円板・円環断面積
  • 平方完成

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

筑波大学の数学を、過去 10 年分まとめて解けるものがあったら使いたいですか？

次にやること

同じ年度の次の問題第5問へ進む指数関数・対数関数・微分法・積分法・極限

筑波大学のほかの年度

2026202520242024推薦2023推薦20222022推薦2022

似た問題を、ほかの大学で