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弘前大学／2023年度

3弘前大学 2023年 数学 第3問解答・解説

ベクトル

1問題

弘前大学2023年度第3問
四面体 OABC において、∣OA→∣=3|\overrightarrow{OA}| = 3, ∣OB→∣=∣OC→∣=2|\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = 2, ∣AB→∣=∣BC→∣=∣AC→∣|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AC}|、内積 OA→⋅OB→=3\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 3 とする。次の問いに答えよ。

(1) ∣AB→∣|\overrightarrow{AB}| の値を求めよ。

(2) 辺 BC の中点を M とするとき、cos⁡∠OMA\cos\angle\mathrm{OMA} の値を求めよ。

(3) 3点 A, B, C の定める平面を α とし、点 O から平面 α に下ろした垂線と平面 α との交点を H とする。 AH→\overrightarrow{AH} を AB→\overrightarrow{AB} と AC→\overrightarrow{AC} を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    7\sqrt7
  • (2)
    −121-\frac1{\sqrt{21}}
  • (3)

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

三角形の等辺条件から必要な内積を補い、位置ベクトルと内積で各小問を解く。

解答

(1) a⃗=OA→\vec{a}=\overrightarrow{OA}, b⃗=OB→\vec{b}=\overrightarrow{OB} とおくと
∣AB∣2=∣b⃗−a⃗∣2=∣OA∣2+∣OB∣2−2a⃗⋅b⃗=9+4−6=7. |AB|^2=|\vec{b}-\vec{a}|^2 =|OA|^2+|OB|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b} =9+4-6=7.
よって ∣AB∣=7|AB|=\sqrt7。仮定から ∣AB∣=∣BC∣=∣CA∣=7|AB|=|BC|=|CA|=\sqrt7 である。また
∣AC→∣2=7=9+4−2OA→⋅OC→ |\overrightarrow{AC}|^2=7=9+4-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}
より OA→⋅OC→=3\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=3、さらに
∣BC→∣2=7=4+4−2OB→⋅OC→ |\overrightarrow{BC}|^2=7=4+4-2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}
より OB→⋅OC→=12\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=\frac12。

(2) m⃗=OM→=12(b⃗+c⃗)\vec{m}=\overrightarrow{OM}=\frac12(\vec{b}+\vec{c}) とする。このとき
∣m⃗∣2=14(4+4+2⋅12)=94,m⃗⋅a⃗=12(3+3)=3. |\vec{m}|^2=\frac14(4+4+2\cdot\tfrac12)=\frac94,\qquad \vec{m}\cdot\vec{a}=\frac12(3+3)=3.
したがって
MO→⋅MA→=(−m⃗)⋅(a⃗−m⃗)=−3+94=−34. \overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{MA} =(-\vec{m})\cdot(\vec{a}-\vec{m}) =-3+\frac94=-\frac34.
また ABCABC は一辺 7\sqrt7 の正三角形だから
∣MO∣=32,∣MA∣=7−(72)2=212. |MO|=\frac32,\qquad |MA|=\sqrt{7-\left(\frac{\sqrt7}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{21}}2.
ゆえに
cos⁡∠OMA=MO→⋅MA→∣MO∣∣MA∣=−3/4(3/2)(21/2)=−121. \cos\angle OMA =\frac{\overrightarrow{MO}\cdot\overrightarrow{MA}}{|MO||MA|} =\frac{-3/4}{(3/2)(\sqrt{21}/2)} =-\frac1{\sqrt{21}}.

(3) u⃗=AB→\vec{u}=\overrightarrow{AB}、v⃗=AC→\vec{v}=\overrightarrow{AC} とおく。u⃗,v⃗\vec{u},\vec{v} は平面 α\alpha を張り、
∣u⃗∣2=∣v⃗∣2=7,u⃗⋅v⃗=7+7−72=72, |\vec{u}|^2=|\vec{v}|^2=7,\qquad \vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{7+7-7}{2}=\frac72,
OA→⋅u⃗=OA→⋅(OB→−OA→)=3−9=−6,OA→⋅v⃗=−6. \overrightarrow{OA}\cdot\vec{u} =\overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=3-9=-6, \qquad \overrightarrow{OA}\cdot\vec{v}=-6.
AH→=xu⃗+yv⃗\overrightarrow{AH}=x\vec{u}+y\vec{v} とおけば
OH→=OA→+xu⃗+yv⃗\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+x\vec{u}+y\vec{v}。OH⊥αOH\perp\alpha より
−6+7x+72y=0,−6+72x+7y=0. -6+7x+\frac72y=0,\qquad -6+\frac72x+7y=0.
これを解いて x=y=47x=y=\frac47。したがって
AH→=47AB→+47AC→. \overrightarrow{AH}=\frac47\overrightarrow{AB}+\frac47\overrightarrow{AC}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • ベクトルの和・差・実数倍
  • 位置ベクトル
  • ベクトルの内積
  • 空間座標と空間ベクトル
  • ベクトルによる図形の考察

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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