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筑波大学／2023年度

2筑波大学 2023年 数学 第2問解答・解説

二次関数微分・積分の考え

1問題

筑波大学2023年度第2問
α,β\alpha, \beta を実数とし、α>1\alpha > 1 とする。曲線 C1:y=∣x2−1∣C_{1}: y = |x^{2} - 1| と曲線 C2:y=−(x−α)2+βC_{2}: y = -(x - \alpha)^{2} + \beta が、点 (α,β)(\alpha, \beta) と点 (p,q)(p, q) の2点で交わるとする。また、C1C_{1} と C2C_{2} で囲まれた図形の面積を S1S_{1} とし、xx軸、直線 x=αx=\alpha、および C1C_{1} の x≧1x \geqq 1 を満たす部分で囲まれた図形の面積を S2S_{2} とする。

(1) pp を α\alpha を用いて表し、0<p<10<p<1 であることを示せ。

(2) S1S_{1} を α\alpha を用いて表せ。

(3) S1>S2S_{1} > S_{2} であることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら、または詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

α>1\alpha>1 で点 (α,β)(\alpha,\beta) が曲線 C1C_1 上にあるので，β=α2−1\beta=\alpha^2-1 であり
C2:y=−(x−α)2+α2−1=−x2+2αx−1. C_2:\quad y=-(x-\alpha)^2+\alpha^2-1=-x^2+2\alpha x-1.

(1) ∣x∣≦1|x|\leqq1 では C1C_1 は y=1−x2y=1-x^2 である。交点条件から
1−x2=−x2+2αx−1よりx=1α. 1-x^2=-x^2+2\alpha x-1 \quad\text{より}\quad x=\frac1\alpha.
よってもう一方の交点の xx 座標は p=1/αp=1/\alpha であり，α>1\alpha>1 より 0<p<10<p<1。一方，∣x∣≧1|x|\geqq1 では C1C_1 は y=x2−1y=x^2-1 だから
x2−1=−x2+2αx−1よりx=0 または x=α. x^2-1=-x^2+2\alpha x-1 \quad\text{より}\quad x=0\ \text{または}\ x=\alpha.
この範囲に属するのは x=αx=\alpha だけである。

(2) p≦x≦1p\leqq x\leqq1 では
C2−C1=2(αx−1)≧0, C_2-C_1=2(\alpha x-1)\geqq0,
また 1≦x≦α1\leqq x\leqq\alpha では
C2−C1=2x(α−x)≧0. C_2-C_1=2x(\alpha-x)\geqq0.
したがって
S1=∫1/α12(αx−1) dx+∫1α2x(α−x) dx=[αx2−2x]1/α1+[αx2−23x3]1α=α−2+1α+α33−α+23=α33+1α−43. \begin{aligned} S_1 &=\int_{1/\alpha}^{1}2(\alpha x-1)\,dx +\int_1^\alpha2x(\alpha-x)\,dx\\ &=\left[\alpha x^2-2x\right]_{1/\alpha}^{1} +\left[\alpha x^2-\frac23x^3\right]_1^\alpha\\ &=\alpha-2+\frac1\alpha+\frac{\alpha^3}{3}-\alpha+\frac23\\ &=\frac{\alpha^3}{3}+\frac1\alpha-\frac43. \end{aligned}

(3) x≧1x\geqq1 で C1:y=x2−1C_1:y=x^2-1 なので，囲まれた図形の面積は
S2=∫1α(x2−1) dx=α33−α+23. S_2=\int_1^\alpha(x^2-1)\,dx=\frac{\alpha^3}{3}-\alpha+\frac23.
よって
S1−S2=α+1α−2=(α−1)2α>0 S_1-S_2=\alpha+\frac1\alpha-2 =\frac{(\alpha-1)^2}{\alpha}>0
（α>1\alpha>1）であり，S1>S2S_1>S_2。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 二次関数のグラフと頂点
  • 二次方程式とグラフ
  • 定積分
  • 定積分による面積
  • 等式・不等式の証明

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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