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筑波大学／2023年度

5筑波大学 2023年 数学 第5問解答・解説

指数関数・対数関数微分法積分法極限

1問題

筑波大学2023年度第5問
f(x)=x−2ex(x>0)f(x)=x^{-2}e^{x}\quad(x>0) とし、曲線 y=f(x)y=f(x) を C とする。また hh を正の実数とする。さらに、正の実数 tt に対して、曲線 CC、2 直線 x=tx=t、x=t+hx=t+h、および xx 軸で囲まれた図形の面積を g(t)g(t) とする。

(1) g′(t)g'(t) を求めよ。

(2) g(t)g(t) を最小にする tt がただ 1 つ存在することを示し、その tt を hh を用いて表せ。

(3) (2)で得られた tt を t(h)t(h) とする。このとき極限値 lim⁡h→+0t(h)\displaystyle \lim_{h\to+0}t(h) を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    g′(t)=et+h(t+h)2−ett2g'(t)=\frac{e^{t+h}}{(t+h)^2}-\frac{e^t}{t^2}。
  • (2)
    t=heh/2−1t=\frac{h}{e^{h/2}-1} が唯一の最小点。
  • (3)
    lim⁡h→+0t(h)=2\lim_{h\to+0}t(h)=2。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) g(t)=∫tt+hexx2 dxg(t)=\int_t^{t+h}\frac{e^x}{x^2}\,dx であり，被積分関数 f(x)=ex/x2f(x)=e^x/x^2 は正である。微積分の基本定理より
g′(t)=f(t+h)−f(t)=et+h(t+h)2−ett2 g'(t)=f(t+h)-f(t)=\frac{e^{t+h}}{(t+h)^2}-\frac{e^t}{t^2}
(2) g′(t)=ett2[(eh/2tt+h)2−1] g'(t)=\frac{e^t}{t^2}\left[\left(\frac{e^{h/2}t}{t+h}\right)^2-1\right]
q(t)=eh/2tt+hq(t)=\frac{e^{h/2}t}{t+h} とおくと，q′(t)=heh/2(t+h)2>0q'(t)=\frac{he^{h/2}}{(t+h)^2}>0，lim⁡t→0+q(t)=0\lim_{t\to0+}q(t)=0，lim⁡t→∞q(t)=eh/2>1\lim_{t\to\infty}q(t)=e^{h/2}>1。したがって q(t)=1q(t)=1 となる tt はただ1つであり，g′(t)g'(t) の符号はその点より左で負，右で正である。q(t)=1q(t)=1 を解くと t+h=eh/2tt+h=e^{h/2}t，ゆえに唯一の最小点は t=heh/2−1t=\frac{h}{e^{h/2}-1}。
(3) u=h/2u=h/2 とおけば t(h)=2ueu−1t(h)=2\frac{u}{e^u-1}。lim⁡u→0+eu−1u=1\lim_{u\to0+}\frac{e^u-1}{u}=1 より lim⁡h→+0t(h)=2\lim_{h\to+0}t(h)=2。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 有理数指数と指数法則
  • 不定積分・定積分の性質
  • 関数の極限
  • 指数・対数関数の微分

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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