3岡山大学 2022年 数学 第3問解答・解説

辺の長さから，位置ベクトルの内積は
$$\begin{aligned} \vec a\cdot\vec a&=\frac14\ell^2,& \vec b\cdot\vec b&=\ell^2,& \vec c\cdot\vec c&=\ell^2,\\ \vec a\cdot\vec b &=\frac{|\vec a|^2+|\vec b|^2-|\vec a-\vec b|^2}{2} =\frac18\ell^2,& \vec a\cdot\vec c&=\frac18\ell^2,\\ \vec b\cdot\vec c &=\frac{|\vec b|^2+|\vec c|^2-|\vec b-\vec c|^2}{2}=0 \end{aligned}$$$$\vec{a}\cdot \vec{a}=\frac{1}{4}{\ell }^2,\vec{b}\cdot \vec{b}={\ell }^2,\vec{c}\cdot \vec{c}={\ell }^2,$$$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-|\vec{a}-\vec{b}{|}^2}{2}=\frac{1}{8}{\ell }^2,\vec{a}\cdot \vec{c}=\frac{1}{8}{\ell }^2,$$$$\vec{b}\cdot \vec{c}=\frac{|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2-|\vec{b}-\vec{c}{|}^2}{2}=0$$
となる。ここで $\vec h=\overrightarrow{OH}$ とおく。

(1) 係数の和が $1$ であり，さらに
$$\overrightarrow{AH} =\vec h-\vec a =\frac18(\vec b+\vec c-2\vec a) =\frac18(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$$
である。よって $\overrightarrow{AH}$ は平面 $ABC$ 内のベクトルであり，点 $H$ は平面 $ABC$ 上にある。

(2)
$$\begin{aligned} |\overrightarrow{OH}|^2 &=\left|\frac34\vec a+\frac18\vec b+\frac18\vec c\right|^2\\ &=\frac9{64}\ell^2+\frac1{64}\ell^2+\frac1{64}\ell^2 +\frac3{128}\ell^2+\frac3{128}\ell^2\\ &=\frac7{32}\ell^2. \end{aligned}$$$$|\overrightarrow{OH}{|}^2={\left|\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{8}\vec{b}+\frac{1}{8}\vec{c}\right|}^2$$$$=\frac{9}{64}{\ell }^2+\frac{1}{64}{\ell }^2+\frac{1}{64}{\ell }^2+\frac{3}{128}{\ell }^2+\frac{3}{128}{\ell }^2$$$$=\frac{7}{32}{\ell }^2.$$
$\ell>0$ より
$$|\overrightarrow{OH}|=\frac{\sqrt{14}}8\ell.$$

(3) 内積を計算すると
$$\vec h\cdot\vec b =\frac34(\vec a\cdot\vec b)+\frac18(\vec b\cdot\vec b)+\frac18(\vec c\cdot\vec b) =\frac7{32}\ell^2 =|\vec h|^2.$$
したがって
$$\overrightarrow{HO}\cdot\overrightarrow{HB} =(-\vec h)\cdot(\vec b-\vec h) =-\vec h\cdot\vec b+|\vec h|^2=0.$$
また $|\overrightarrow{HB}|^2=\ell^2+|\vec h|^2-2\vec h\cdot\vec b=\frac{25}{32}\ell^2>0$ なので，$\angle OHB=90^\circ$。

(4) 同様に
$$\vec h\cdot\vec a =\frac34\cdot\frac14\ell^2+\frac18\cdot\frac18\ell^2+\frac18\cdot\frac18\ell^2 =\frac7{32}\ell^2, \qquad \vec h\cdot\vec c=\frac7{32}\ell^2.$$
よって
$$\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AB} =\vec h\cdot(\vec b-\vec a)=0,\qquad \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AC} =\vec h\cdot(\vec c-\vec a)=0.$$
$AB$ と $AC$ は平面 $ABC$ 内で平行でないから，$OH\perp$ 平面 $ABC$ であり，(2)の長さが四面体の高さである。また
$$AB^2+AC^2=2\ell^2=BC^2$$
より $\angle BAC=90^\circ$，したがって底面 $ABC$ の面積は $\frac12\ell^2$ である。ゆえに
$$V=\frac13\cdot\frac12\ell^2\cdot\frac{\sqrt{14}}8\ell =\frac{\sqrt{14}}{48}\ell^3.$$