2山形大学 2022年 数学 第2問解答・解説

直線の媒介変数表示で $\mathrm{E}$ を求め、内積から角と三角形の面積を出す。$\mathrm{D}$ が $\mathrm{A}$ と $\mathrm{E}$ の中点であることを使って、四面体の体積を分割して計算する。

(1)

点 $\mathrm{E}$ は直線 $\mathrm{AD}$ 上にある。$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=(-1,-1,-1)$ より、直線 $\mathrm{AD}$ は
$$(x,y,z)=(0,3,2)+t(-1,-1,-1)=(-t,\,3-t,\,2-t)$$
と表せる。$\mathrm{E}$ は $xy$ 平面上にあるので $z=0$、すなわち $2-t=0$ より $t=2$。したがって $\mathrm{E}(-2,\,1,\,0)$。

(2)

$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=(-6,\,3,\,0)$、$\overrightarrow{\mathrm{CE}}=(-5,\,0,\,0)$ だから、
$$|\overrightarrow{\mathrm{CB}}|=3\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{CE}}|=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{CB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CE}}=30.$$
よって $\cos\angle\mathrm{BCE}=\dfrac{30}{(3\sqrt{5})\cdot5}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$。角は三角形の内角なので正弦は正であり、
$$\sin\angle\mathrm{BCE}=\sqrt{1-\cos^{2}\angle\mathrm{BCE}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}.$$

(3)

三角形の面積の公式より
$$\triangle\mathrm{BCE}=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{CB}}|\,|\overrightarrow{\mathrm{CE}}|\sin\angle\mathrm{BCE}=\dfrac{1}{2}(3\sqrt{5})(5)\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{15}{2}.$$

(4)

$\mathrm{D}$ は $\mathrm{A}$ と $\mathrm{E}$ の中点である（$\dfrac{\mathrm{A}+\mathrm{E}}{2}=(-1,2,1)=\mathrm{D}$）。したがって四面体 $\mathrm{ABCE}$ は、平面 $\mathrm{BCD}$ によって四面体 $\mathrm{ABCD}$ と $\mathrm{BCDE}$ に分かれる。底面を $\triangle\mathrm{BCE}$（$z=0$ 上）とすると、頂点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{D}$ から底面への高さはそれぞれ $2$、$1$ である。ゆえに
$$\begin{aligned} V_{\mathrm{ABCD}}&=V_{\mathrm{ABCE}}-V_{\mathrm{BCDE}}\\ &=\dfrac{1}{3}\triangle\mathrm{BCE}\cdot2-\dfrac{1}{3}\triangle\mathrm{BCE}\cdot1\\ &=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{15}{2}=\dfrac{5}{2}. \end{aligned}$$$$V_{\mathrm{ABCD}}=V_{\mathrm{ABCE}}-V_{\mathrm{BCDE}}$$$$=\frac{1}{3}△\mathrm{BCE}\cdot 2-\frac{1}{3}△\mathrm{BCE}\cdot 1$$$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{15}{2}=\frac{5}{2}.$$