3名古屋市立大学 2023年 数学 第3問解答・解説

空間ベクトルの成分と内積で平面の法線と垂線の足を求め、両四面体の高さと底面の面積から体積比を計算する。

(1)

点 $\mathrm{A}$ から点 $\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ へ向かうベクトルは
$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3,0,-3),\qquad \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(1,2,-2)$$
である。$\vec{n}=(a,1,c)$ が平面 $\alpha$ に垂直だから、これら二つのベクトルとの内積が 0 となり、
$$3a-3c=0,\qquad a+2-2c=0.$$
第1式から $a=c$ であり、これを第2式に代入すると $2-a=0$ となる。よって
$$a=2,\qquad c=2.$$

(2)

平面 $\alpha$ の法線ベクトルは $(2,1,2)$ であり、点 $\mathrm{A}$ を通るので、平面の方程式は
$$2(x+1)+(y-1)+2(z-3)=0, \quad\text{すなわち}\quad 2x+y+2z=5$$
である。垂線の足を $\mathrm{H}=\mathrm{P}-\lambda(2,1,2)$ とおく。$\mathrm{H}$ は $\alpha$ 上にあるので、$\mathrm{P}=(5,3,5)$ を代入して
$$(2,1,2)\cdot\bigl((5,3,5)-\lambda(2,1,2)\bigr)=5,$$
$$23-9\lambda=5, \quad\text{したがって}\quad \lambda=2.$$
したがって
$$\mathrm{H}=(5,3,5)-2(2,1,2)=(1,1,1).$$
実際、$2\cdot1+1+2\cdot1=5$ より $\mathrm{H}$ は平面 $\alpha$ 上にあり、$\overrightarrow{\mathrm{PH}}=(-4,-2,-4)=-2(2,1,2)$ は平面の法線方向である。

(3)

点 $\mathrm{D}$ についても $2\cdot5+1+2(-3)=5$ だから、$\mathrm{A}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$ はすべて $\alpha$ 上にある。したがって四面体 $\mathrm{QABC}$、$\mathrm{RACD}$ の高さは、それぞれ点 $\mathrm{Q}$、$\mathrm{R}$ からこの平面までの距離である。$|(2,1,2)|=3$ を用いると、
$$\begin{aligned} (2,1,2)\cdot\mathrm{Q}-5&=2(2t+5)+(t+3)+2(2t-4)-5=9t,\\ (2,1,2)\cdot\mathrm{R}-5&=2(2u+3)+(u-1)+2(2u)-5=9u. \end{aligned}$$$$(2,1,2)\cdot \mathrm{Q}-5=2(2t+5)+(t+3)+2(2t-4)-5=9t,$$$$(2,1,2)\cdot \mathrm{R}-5=2(2u+3)+(u-1)+2(2u)-5=9u.$$
$t,u>0$ なので、高さはそれぞれ $3t$、$3u$ である。

底面の面積を求める。二つのベクトル $\vec{v}$、$\vec{w}$ が作る三角形の面積は、内積の式 $\vec{v}\cdot\vec{w}=|\vec{v}|\,|\vec{w}|\cos\theta$ と $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ から
$$\dfrac{1}{2}\sqrt{|\vec{v}|^{2}|\vec{w}|^{2}-(\vec{v}\cdot\vec{w})^{2}}$$
と表せる。ここで
$$\begin{gathered} |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^{2}=18,\quad |\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^{2}=9,\quad \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=9,\\ |\overrightarrow{\mathrm{AD}}|^{2}=72,\quad \overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}=18 \end{gathered}$$$$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}{|}^2=18,|\overrightarrow{\mathrm{AC}}{|}^2=9,\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=9,$$$$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}{|}^2=72,\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=18$$
より、
$$\triangle\mathrm{ABC}=\dfrac{1}{2}\sqrt{18\cdot9-9^{2}}=\dfrac{9}{2}, \qquad \triangle\mathrm{ACD}=\dfrac{1}{2}\sqrt{9\cdot72-18^{2}}=9.$$
よって四面体の体積は底面積と高さの積の $\dfrac{1}{3}$ だから、体積比は
$$\text{四面体 }\mathrm{QABC}\text{ と }\mathrm{RACD}\text{ の体積比} =\left(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{9}{2}\cdot3t\right):\left(\dfrac{1}{3}\cdot9\cdot3u\right)=t:2u.$$