2東海大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1)

立方体の 3 辺に沿う $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ は互いに垂直な単位ベクトルである。$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\vec{a}+\vec{b}$、$\overrightarrow{\mathrm{DF}}=\vec{c}$ なので、
$$\overrightarrow{\mathrm{OL}}=\vec{a}+\vec{b}+k\vec{c}.$$
直線 $\mathrm{OL}$ 上の点は $t(\vec{a}+\vec{b}+k\vec{c})$ と表せる。面 $\mathrm{CEFG}$ 上では $\vec{c}$ 方向の係数が 1 だから $tk=1$、すなわち $t=\dfrac{1}{k}$ である。よって
$$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\dfrac{1}{k}\vec{a}+\dfrac{1}{k}\vec{b}+\vec{c},\qquad |\overrightarrow{\mathrm{OM}}|=\sqrt{\dfrac{1}{k^{2}}+\dfrac{1}{k^{2}}+1}=\dfrac{\sqrt{k^{2}+2}}{k}.$$

(2)

$|\vec{a}|=1$ かつ $\vec{a}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\dfrac{1}{k}$ なので、
$$\cos\angle\mathrm{AOM}=\dfrac{1/k}{\sqrt{k^{2}+2}/k}=\dfrac{1}{\sqrt{k^{2}+2}}.$$
$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ のうち $\vec{a}$ に垂直な成分は $\dfrac{1}{k}\vec{b}+\vec{c}$ であり、その長さは $\sqrt{1+\dfrac{1}{k^{2}}}$ である。これを $\triangle\mathrm{OAM}$ の高さとして用いると、
$$\triangle\mathrm{OAM}=\dfrac{1}{2}\sqrt{1+\dfrac{1}{k^{2}}}=\dfrac{\sqrt{k^{2}+1}}{2k}.$$
平面 $\mathrm{OAM}$ に垂直なベクトルとして $\vec{c}-k\vec{b}$ をとれる。実際、これは $\vec{a}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ の両方に垂直で、長さは $\sqrt{k^{2}+1}$ である。したがって、点 $\mathrm{C}$ から平面 $\mathrm{OAM}$ までの距離は、$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ のこの単位法線方向の成分であり、
$$\mathrm{CH}=\dfrac{\vec{c}\cdot(\vec{c}-k\vec{b})}{\sqrt{k^{2}+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}.$$
よって四面体の体積は
$$\dfrac{1}{3}\,\triangle\mathrm{OAM}\cdot\mathrm{CH}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{k^{2}+1}}{2k}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}=\dfrac{1}{6k}.$$

(3)

$\mathrm{N}$ は線分 $\mathrm{OF}$ 上にあるので、$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=t(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$（$0<t\leqq1$）とおける。さらに
$$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\left(t-\dfrac{1}{k}\right)\vec{a}+\left(t-\dfrac{1}{k}\right)\vec{b}+(t-1)\vec{c}.$$
$\overrightarrow{\mathrm{ON}}\perp\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ と $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ の直交性から、
$$0=\overrightarrow{\mathrm{ON}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MN}}=t\left(3t-\dfrac{2}{k}-1\right).$$
$\mathrm{N}\ne\mathrm{O}$ より $t>0$ であるから $t=\dfrac{k+2}{3k}$ である。$k>1$ なら $0<t<1$ で、確かに $\mathrm{N}$ は線分 $\mathrm{OF}$ 上にある。
三角形 $\mathrm{ABC}$ は一辺 $\sqrt{2}$ の正三角形で、その面積は $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ である。また $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ の法線方向で、長さは $\sqrt{3}$ である。$\mathrm{A}$ から $\mathrm{N}$ へのベクトルのこの法線方向の成分は、
$$\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AN}}\cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})}{\sqrt{3}}=\dfrac{3t-1}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{k\sqrt{3}}.$$
したがって四面体 $\mathrm{ABCN}$ の体積は
$$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{2}{k\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3k}.$$