6筑波大学 2023年 数学 第6問解答・解説

〔6〕複素数$z=x+iy$（$x,\,y$は実数）とする。

(1)

両辺は非負なので二乗してよい。
$$|z+2|=2|z-1|\quad\text{すなわち}\quad(x+2)^{2}+y^{2}=4\{(x-1)^{2}+y^{2}\}.$$
展開・整理すると$x^{2}-4x+y^{2}=0$、すなわち
$$(x-2)^{2}+y^{2}=4.$$
これは中心$(2,\,0)$、半径2の円である。

(2)

$A=|z+2|-2|z-1|$とおくと、問題の等式は
$$A\bigl(|z+6i|-3|z-2i|\bigr)=0$$
と同値である。実数の積が0になる条件から、$A=0$または$|z+6i|=3|z-2i|$である。前者は(1)の円である。後者を2乗して整理すると
$$x^{2}+(y+6)^{2}=9\{x^{2}+(y-2)^{2}\}\quad\text{すなわち}\quad x^{2}+y^{2}-6y=0\quad\text{すなわち}\quad x^{2}+(y-3)^{2}=9.$$
よって$S$は、中心$(2,\,0)$・半径2の円と、中心$(0,\,3)$・半径3の円との和集合（両円の円周全体）である。交点は両円の式$x^{2}+y^{2}-4x=0$と$x^{2}+y^{2}-6y=0$を引いて$2x=3y$として求める。$y=\dfrac{2x}{3}$を代入すると$x\left(\dfrac{13}{9}x-4\right)=0$だから、交点は$(0,\,0)$と$\left(\dfrac{36}{13},\,\dfrac{24}{13}\right)$である。両円の円周はどちらも全周で、交点はこの2点である。

(3)

$z=0$は両方の円に属するが、$w=\dfrac{1}{z}$はそこで定義されないため、変換の対象は$S$から原点を除いた部分である。$w=u+iv$とおけば（$w\ne0$）、$z=\dfrac{1}{w}=\dfrac{u-iv}{u^{2}+v^{2}}$なので、$x=\dfrac{u}{u^{2}+v^{2}}$、$y=\dfrac{-v}{u^{2}+v^{2}}$である。
$$x^{2}+y^{2}-4x=0\quad\text{すなわち}\quad\dfrac{1-4u}{u^{2}+v^{2}}=0\quad\text{すなわち}\quad u=\dfrac{1}{4},$$
また
$$x^{2}+y^{2}-6y=0\quad\text{すなわち}\quad\dfrac{1+6v}{u^{2}+v^{2}}=0\quad\text{すなわち}\quad v=-\dfrac{1}{6}.$$
逆に、直線$u=\dfrac{1}{4}$上の点も直線$v=-\dfrac{1}{6}$上の点も$w=0$ではないので$z=\dfrac{1}{w}$が定まり、対応する円の式を満たす。したがって像は、実部が$\dfrac{1}{4}$である直線と虚部が$-\dfrac{1}{6}$である直線の和集合である。両直線に端点や除外点はなく、交点は$w=\dfrac{1}{4}-\dfrac{i}{6}$である。
(2)の図

(3)の図