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宮崎大学／2024年度／前期

3宮崎大学 2024年 数学 第3問解答・解説

ベクトル図形と計量

1問題

宮崎大学2024年度第3問
1辺の長さが 11 の正四面体 OABCOABC において、△ABC\triangle ABC の重心を GG、線分 BCBC を 1:31:3 に内分する点を DD とする。また、直線 ABAB 上にあり、GD→⊥GE→\overrightarrow{GD}\perp\overrightarrow{GE} を満たす点を EE とする。このとき、b⃗=AB→, c⃗=AC→\vec{b}=\overrightarrow{AB},\ \vec{c}=\overrightarrow{AC} として、次の各問に答えよ。

(1) AG→\overrightarrow{AG} を b⃗,c⃗\vec{b},\vec{c} を用いて表せ。

(2) GD→, GE→\overrightarrow{GD},\ \overrightarrow{GE} のそれぞれを、b⃗,c⃗\vec{b},\vec{c} を用いて表せ。また、∣GD→∣, ∣GE→∣\left|\overrightarrow{GD}\right|,\ \left|\overrightarrow{GE}\right| の値をそれぞれ求めよ。

(3) OG→⋅b⃗\overrightarrow{OG}\cdot\vec{b} と OG→⋅c⃗\overrightarrow{OG}\cdot\vec{c} の値をそれぞれ求めよ。

(4) PP を平面 ABCABC 上の点とする。また、点 PP は、直線 GDGD で平面 ABCABC を2つに分けたときに、点 EE と同じ側にあるとする。△DGP\triangle DGP の面積が 11 のとき、OP→⋅GE→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{GE} の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    AG→=b⃗+c⃗3\overrightarrow{AG}=\dfrac{\vec b+\vec c}{3}
  • (2)
  • (3)
  • (4)

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

正四面体の辺の長さがすべて1であるから、
∣b⃗∣=∣c⃗∣=1,b⃗⋅c⃗=12. |\vec b|=|\vec c|=1,\qquad \vec b\cdot\vec c=\frac12.
また、a⃗=OA→\vec a=\overrightarrow{OA} とおくと
OB→=a⃗+b⃗\overrightarrow{OB}=\vec a+\vec b、OC→=a⃗+c⃗\overrightarrow{OC}=\vec a+\vec c である。
∣OB→∣=∣OC→∣=∣a⃗∣=1|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=|\vec a|=1 より
a⃗⋅b⃗=a⃗⋅c⃗=−12. \vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=-\frac12.

(1) 三角形ABCABCの重心の位置ベクトルより、
AG→=AB→+AC→3=b⃗+c⃗3. \overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3} =\frac{\vec b+\vec c}{3}.

(2) BD:DC=1:3BD:DC=1:3 なので
AD→=3b⃗+c⃗4,GD→=AD→−AG→=5b⃗−c⃗12. \overrightarrow{AD}=\frac{3\vec b+\vec c}{4},\qquad \overrightarrow{GD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AG} =\frac{5\vec b-\vec c}{12}.
EEは直線ABAB上にあるから、実数ttを用いて
AE→=tb⃗\overrightarrow{AE}=t\vec b とおける。このとき
GE→=(t−13)b⃗−13c⃗. \overrightarrow{GE}=\left(t-\frac13\right)\vec b-\frac13\vec c.
条件GD→⋅GE→=0\overrightarrow{GD}\cdot\overrightarrow{GE}=0 と
∣b⃗∣=∣c⃗∣=1, b⃗⋅c⃗=12|\vec b|=|\vec c|=1,\ \vec b\cdot\vec c=\frac12 より
0=(5b⃗−c⃗)⋅{(t−13)b⃗−13c⃗}=92(t−13)−12. 0=(5\vec b-\vec c)\cdot \left\{\left(t-\frac13\right)\vec b-\frac13\vec c\right\} =\frac92\left(t-\frac13\right)-\frac12.
したがってt=49t=\frac49であり、
GE→=b⃗−3c⃗9. \overrightarrow{GE}=\frac{\vec b-3\vec c}{9}.
よって
∣GD→∣2=25+1−10(1/2)144=21144,∣GE→∣2=1+9−6(1/2)81=781, |\overrightarrow{GD}|^2 =\frac{25+1-10(1/2)}{144}=\frac{21}{144},\qquad |\overrightarrow{GE}|^2 =\frac{1+9-6(1/2)}{81}=\frac7{81},
ゆえに∣GD→∣=2112|\overrightarrow{GD}|=\frac{\sqrt{21}}{12}、
∣GE→∣=79|\overrightarrow{GE}|=\frac{\sqrt7}{9}である。

(3) OG→=a⃗+b⃗+c⃗3\overrightarrow{OG}=\vec a+\frac{\vec b+\vec c}{3} だから、
OG→⋅b⃗=−12+1+1/23=0,OG→⋅c⃗=−12+1+1/23=0. \overrightarrow{OG}\cdot\vec b =-\frac12+\frac{1+1/2}{3}=0,\qquad \overrightarrow{OG}\cdot\vec c =-\frac12+\frac{1+1/2}{3}=0.

(4) OG→\overrightarrow{OG}は平面ABCABCに垂直であり、
GE→\overrightarrow{GE}は同平面上にあるので
OG→⋅GE→=0\overrightarrow{OG}\cdot\overrightarrow{GE}=0。
したがって
OP→⋅GE→=(OG→+GP→)⋅GE→=GP→⋅GE→. \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{GE} =(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GP})\cdot\overrightarrow{GE} =\overrightarrow{GP}\cdot\overrightarrow{GE}.
GE→\overrightarrow{GE}は直線GDGDに垂直で、点EE側を向く。
点PPもEEと同じ側にあり、三角形DGPDGPの面積が1だから、
点PPから直線DGDGまでの距離は
2⋅1∣DG→∣=2421. \frac{2\cdot1}{|\overrightarrow{DG}|} =\frac{24}{\sqrt{21}}.
この距離はGP→\overrightarrow{GP}のGE→\overrightarrow{GE}方向の成分であり、
よって
GP→⋅GE→=2421∣GE→∣=2421⋅79=839. \overrightarrow{GP}\cdot\overrightarrow{GE} =\frac{24}{\sqrt{21}}|\overrightarrow{GE}| =\frac{24}{\sqrt{21}}\cdot\frac{\sqrt7}{9} =\frac{8\sqrt3}{9}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • ベクトルの和・差・実数倍
  • 位置ベクトル
  • ベクトルの内積
  • 空間座標と空間ベクトル
  • ベクトルによる図形の考察
  • 三角比による面積

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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