4東京大学 2025年 数学 第4問解答・解説

$k=\sqrt{f_a(n)}$ とおくと、平方数の定義より $k$ は $0$ 以上の整数である。$M=4a+1$ とおけば
$$(2n+1)^2-(2k)^2=4(n^2+n-k^2)+1=4a+1=M.$$

(1) $M>0$ なので $2n+1>2k$。両辺は整数で、左辺は奇数、右辺は偶数だから $k\leqq n$。したがって
$$n^2+n-a=k^2\leqq n^2$$
より $n\leqq a$ である。

(2) 解 $n$ に対して
$$u=2n+1-2k,\qquad v=2n+1+2k$$
とおく。上の差の平方の式から $uv=M$。また $M>0$ より $u>0$、$u,v$ は奇数で $u\leqq v$ である。

逆に、$uv=M$ を満たす正の整数の因数対 $u\leqq v$ をとる。$M\equiv1\pmod4$ で $u,v$ は奇数なので、$uv\equiv1\pmod4$ から $u\equiv v\pmod4$。よって
$$n=\frac{u+v-2}{4},\qquad k=\frac{v-u}{4}$$
は整数である。$M\geqq5$ より $n\geqq1$、また $k\geqq0$。さらに
$$(2n+1)^2-(2k)^2=\left(\frac{u+v}{2}\right)^2-\left(\frac{v-u}{2}\right)^2=uv=M=4a+1$$
だから $n^2+n-a=k^2$、すなわち $f_a(n)=k^2$ である。この対応は逆に一意に復元できるので、該当する正整数 $n$ の個数 $N_a$ は $M$ の正の因数対 $u\leqq v$ の個数に等しい。

$M$ が素数なら因数対は $(1,M)$ だけであり、これから $n=(M-1)/4=a$ が得られるので $N_a=1$。一方、$M$ が合成数なら $(1,M)$ のほかに $1<u\leqq v$ の因数対が少なくとも一つあり、それは別の正整数解を与える。したがって $N_a\geqq2$。ゆえに
$$N_a=1\text{ となるための必要十分条件は }M=4a+1\text{ が素数であること}.$$