2高知大学 2023年 数学 第2問解答・解説

任意の整数 $m,n$ について
$$m^2-n^2=(m-n)(m+n),\qquad (m-n)+(m+n)=2m$$
である。右の和は偶数なので、$m-n$ と $m+n$ は同じ偶奇である。両方が奇数なら積 $m^2-n^2$ は奇数、両方が偶数なら $m-n=2p,\ m+n=2q$ と書けて積は $4pq$ となる。したがって $A$ の要素は奇数または $4$ の倍数である。

(1) $m=4,\ n=3$ とすると
$$m^2-n^2=4^2-3^2=16-9=7,$$
よって $7\in A$。

(2) $6$ は偶数だが $4$ の倍数ではないため、上の性質から $6\notin A$。

(3) 任意の奇数 $a$ を $a=2k+1$（$k\text{ は整数}$）と表す。$m=k+1,\ n=k$ とすれば
$$m^2-n^2=(k+1)^2-k^2=2k+1=a,$$
したがって全ての奇数は $A$ に属する。

(4) 偶数 $a\in A$ なら、$a=(m-n)(m+n)$ であり、二因子は同じ偶奇である。奇数どうしでは積が奇数となるから、偶数 $a$ の場合は両因子が偶数である。$m-n=2p,\ m+n=2q$ とおけば $a=4pq$ で、整数 $k=pq$ と置くと $a=4k$。逆に $a=4k$（$k\text{ は整数}$）なら $m=k+1,\ n=k-1$ と選べて
$$m^2-n^2=(k+1)^2-(k-1)^2=4k=a.$$
よって偶数 $a$ が $A$ に属するための必要十分条件は、ある整数 $k$ に対して $a=4k$ と表せることである。

平方差を二因子に分解すると、二因子は同じ偶奇となる。そのため平方差は奇数か4の倍数に限られる。これで6の排除と偶数の場合の必要性を示し、7・奇数全体・4の倍数には具体的な整数を構成して所属を確かめる。