4浜松医科大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1) $1<q<51$ を満たす素数 $q$ は $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47$ であり、その個数は $15$ 個である。したがって $p(1)=15$。
(2) $M=50!$ とおくと、$p(M+1)$ で数える整数は $M+2,M+3,\ldots,M+50$ である。各 $j=2,3,\ldots,50$ に対して $50!+j=j\left(\frac{50!}{j}+1\right)$ であり、$j\geqq2$、かつ $50!/j+1>1$ だから、これらはすべて合成数である。よって $p(50!+1)=0$。
(3) 整数 $t$ に対し、$t$ が素数なら $e(t)=1$、素数でなければ $e(t)=0$ とおく。定義から $p(n)=\sum_{j=1}^{49}e(n+j)$、$p(n+1)=\sum_{j=2}^{50}e(n+j)$ である。したがって $p(n)-p(n+1)=e(n+1)-e(n+50)$。右辺は $0$ または $1$ の差なので $-1,0,1$ のいずれかであり、$|p(n)-p(n+1)|\leqq1$ が成り立つ。
(4) $1\leqq k\leqq50!+1$ かつ $p(k)\leqq1$ を満たす自然数 $k$ の集合を $S$ とする。(2)より $50!+1$ は $S$ の要素だから $S$ は空でない有限集合であり、最小の要素 $m$ をもつ。(1)より $p(1)=15>1$ なので $m>1$。$m$ の最小性から $p(m-1)>1$、したがって整数である $p(m-1)$ は $2$ 以上である。(3)を $n=m-1$ に適用すると $|p(m)-p(m-1)|\leqq1$ だから $p(m)\geqq p(m-1)-1\geqq1$。一方、$m$ は $S$ の要素なので $p(m)\leqq1$ である。ゆえに $p(m)=1$ となり、そのような自然数が存在する。