2名古屋大学 2025年 数学 第2問解答・解説

a-b と a+b の因数対に変数変換し、偶奇条件を加えて正の因数対を完全に列挙する。

条件 $a\geqq b\geqq 0$ のもとで $x=a-b$、$y=a+b$ とおくと、$xy=a^{2}-b^{2}=c$、$0\leqq x\leqq y$ となる。$c>0$ なので $x,\,y>0$ であり、$x,\,y$ は同じ偶奇である。$(a,\,b)=\left(\dfrac{x+y}{2},\,\dfrac{y-x}{2}\right)$ と戻せるので、同じ偶奇の正の因数対 $x\leqq y$ を調べればよい。

(1) $c=24$ の因数対 $(x,y)=(1,24),(2,12),(3,8),(4,6)$ のうち同偶奇なのは $(2,12),(4,6)$ で、対応する $(a,b)$ は $(7,5),(5,1)$ である。$c=25$ では $(1,25),(5,5)$ がともに適し、$(a,b)=(13,12),(5,0)$ である。$c=26$ の因数対 $(1,26),(2,13)$ はいずれも偶奇が異なるため、解はない。

(2) $c=4p^{2n}$ は偶数である。同偶奇の $x,\,y$ がともに奇数なら積が奇数となるから、$x,\,y$ はともに偶数である。$x=2r$、$y=2s$ とすると $1\leqq r\leqq s$、$rs=p^{2n}$ となる。$p$ は素数なので $r=p^{k}$、$s=p^{2n-k}$ と書け、$r\leqq s$ より $k=0,1,\cdots,n$ である。したがって
$$(a,\,b)=(r+s,\,s-r)=\left(p^{k}+p^{2n-k},\,p^{2n-k}-p^{k}\right)\quad(k=0,1,\cdots,n)$$