東京大学 2022年数学第1問解答・解説

1問題

東京大学2022年度第1問

次の関数 f(x) を考える。

f(x)=\cos x\,\log(\cos x)-\cos x+\int_{0}^{x}\cos t\,\log(\cos t)\,dt\qquad(0\leqq x<\dfrac{\pi}{2})

(1)

f(x)

は区間

0\leqq x<\dfrac{\pi}{2}

において最小値を持つことを示せ。

(2)

f(x)

の区間

0\leqq x<\dfrac{\pi}{2}

における最小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle\min_{0\leqq x<\pi/2}f(x)=\log(1+\sqrt{2})-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\log2-\sqrt{2}$ （ $x=\dfrac{\pi}{4}$ で達成）

解答を見る途中式つきの解答

(1)

f'(x)=-\sin x\{\log(\cos x)+1\}+\sin x+\cos x\log(\cos x)=(\cos x-\sin x)\log(\cos x).

0<x<\dfrac{\pi}{4}

より

f'(x)<0

、

\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{\pi}{2}

より

f'(x)>0

である。
したがって

f

は

0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{4}

の範囲で減少し、

\dfrac{\pi}{4}\leqq x<\dfrac{\pi}{2}

の範囲で増加するので、最小値は

x=\dfrac{\pi}{4}

でとる。

(2)

I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\cos t\log(\cos t)\,dt

とおき、

u=\sin t

と置換すると、

\log(\cos t)=\dfrac{1}{2}\log(1-u^{2})

より

I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\log(1-u^{2})\,du.

\displaystyle\int\log(1-u^{2})\,du=-(1-u)\log(1-u)+(1+u)\log(1+u)-2u.

a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}

とおくと、

\log(1+a)=\log(1+\sqrt{2})-\dfrac{1}{2}\log2,\qquad\log(1-a)=-\log(1+\sqrt{2})-\dfrac{1}{2}\log2

より

I=\log(1+\sqrt{2})-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\log2-\dfrac{1}{\sqrt{2}}.

また

\cos\dfrac{\pi}{4}\log\left(\cos\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\log2,\qquad-\cos\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}.

従って

f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\log(1+\sqrt{2})-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\log2-\sqrt{2}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。