2大阪医科薬科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

$f(x)=0$ は $e^x\sin(e^x)=0$ と同値である。$e^x>0$ なので $e^x=n\pi$（$n=1,2,3,\cdots$）となり、共有点は $A_n=(\log(n\pi),0)$ である。したがって
$$a_n=\log(n\pi).$$

(1) 区間 $a_n<x<a_{n+1}$ では $e^x$ は $n\pi$ から $(n+1)\pi$ まで動き、$\sin(e^x)$ の符号は一定である。置換 $t=e^x$ により
$$S_n=\int_{a_n}^{a_{n+1}}|e^x\sin(e^x)|\,dx =\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\sin t|\,dt =\int_0^\pi\sin t\,dt=2.$$

(2) 導関数は
$$f'(x)=e^x\sin(e^x)+e^{2x}\cos(e^x).$$
$x=a_n$ では $e^{a_n}=n\pi$ かつ $\sin(n\pi)=0$、$\cos(n\pi)=(-1)^n$ なので
$$f'(a_n)=(-1)^n(n\pi)^2.$$
接線は $y=(-1)^n(n\pi)^2(x-a_n)$。$a_n=\log(n\pi)>0$ であるため、この直線と両座標軸が作る三角形の面積は
$$T_n=\frac12\,a_n\,\bigl|(-1)^{n+1}(n\pi)^2a_n\bigr| =\frac12(n\pi)^2\{\log(n\pi)\}^2.$$
よって
$$\frac{T_{n+1}}{T_n} =\left(\frac{n+1}{n}\right)^2 \left\{\frac{\log((n+1)\pi)}{\log(n\pi)}\right\}^2 =\left(1+\frac1n\right)^2 \left\{1+\frac{\log(1+1/n)}{\log(n\pi)}\right\}^2\longrightarrow1.$$

(3) $B_n$ では $|f(x)|=e^x$ だから $|\sin(e^x)|=1$。区間 $n\pi<e^x<(n+1)\pi$ 内では、これを満たすのは $e^{x}= (n+\frac12)\pi$ のみである。したがって
$$B_n=\left(\log\left((n+\tfrac12)\pi\right),(n+\tfrac12)\pi\right).$$
三角形の底辺 $A_nA_{n+1}$ は $x$ 軸上にあり、その長さは $\log(1+1/n)$、高さは $B_n$ の $y$ 座標である。ゆえに
$$U_n=\frac{(2n+1)\pi}{4}\log\left(1+\frac1n\right).$$
また
$$\frac{1}{n+1}<\log\left(1+\frac1n\right)<\frac1n$$
である。これは $\log(1+1/n)=\int_0^{1/n}(1+t)^{-1}dt$ において被積分関数が $1/(1+1/n)$ と $1$ の間にあることから従う。両辺に $2n+1$ を掛けると上下とも2に近づくので
$$\lim_{n\to\infty}U_n=\frac\pi4\cdot2=\frac\pi2.$$