3東京大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1)
点 $P$ は領域 $D$ の点なので、$0\leqq a\leqq 3$ かつ $0\leqq a^{2}\leqq 3$。よって $0\leqq a\leqq\sqrt{3}$。
点 $P$ が点 $\mathrm{O}$ から十分離れているので、$|a|\geqq 1$ または $a^{2}\geqq 1$。$a\geqq 0$ より $a\geqq 1$ である。
$a\leqq\sqrt{3}<2$ より $|a-3|=3-a\geqq 1$ が成り立つので、点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ からも十分離れている。
よって $1\leqq a\leqq\sqrt{3}$。

(2)
点 $Q$ が条件を満たすとは、$Q$ が領域 $D$ の点で、かつ $\mathrm{O}$、$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{P}$ のどれからも十分離れていることである。
点 $T$ から十分離れていないとは、$|x-x_{T}|<1$ かつ $|y-y_{T}|<1$ であることで、$T$ を中心とする一辺 2 の正方形の内部（境界を除く）を表す。よって求める面積は、$D$ の面積 9 から、$D$ と 4 つの正方形の和集合の面積を引いたものである。
$\mathrm{O}$、$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ の正方形の $D$ 内の部分は、順に $0\leqq x<1,\ 0\leqq y<1$、$2<x\leqq 3,\ 0\leqq y<1$、$2<x\leqq 3,\ 2<y\leqq 3$ で、面積はどれも 1 であり、互いに重ならない。
$\mathrm{P}$ の正方形は $a-1<x<a+1,\ a^{2}-1<y<a^{2}+1$ である。
よって、和集合の面積は、$3$ に、P の正方形と $D$ の共通部分の面積を加え、P と $\mathrm{O}$、$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ の正方形との重なりの面積を引いたものになる。

(ア) $1\leqq a\leqq\sqrt{2}$ のとき
$a^{2}-1\geqq 0$、$a^{2}+1\leqq 3$ なので、P の正方形と $D$ の共通部分は縦横とも長さ 2 で、面積は 4。
P と $\mathrm{O}$ の重なりは $a-1<x<1$、$a^{2}-1<y<1$ の部分で、面積は $(2-a)(2-a^{2})$。
P と $\mathrm{A}$ の重なりは $2<x<a+1$、$a^{2}-1\leqq y<1$ の部分で、面積は $(a-1)(2-a^{2})$。
P と $\mathrm{B}$ の重なりは $2<x<a+1$、$2<y<a^{2}+1$ の部分で、面積は $(a-1)(a^{2}-1)$。
よって、和集合の面積は
$$3+4-(2-a)(2-a^{2})-(a-1)(2-a^{2})-(a-1)(a^{2}-1)$$
$$=7-(2-a^{2})-(a^{3}-a^{2}-a+1)=-a^{3}+2a^{2}+a+4$$
で、求める面積は
$$f(a)=9-(-a^{3}+2a^{2}+a+4)=a^{3}-2a^{2}-a+5$$

(イ) $\sqrt{2}\leqq a\leqq\sqrt{3}$ のとき
$a^{2}-1\geqq 1$ なので、P の正方形は $\mathrm{O}$、$\mathrm{A}$ の正方形と重ならない。
$a^{2}+1\geqq 3$ より、P の正方形と $D$ の共通部分は、$x$ の長さ 2、$a^{2}-1<y\leqq 3$ の部分なので、面積は $2(4-a^{2})=8-2a^{2}$。
P と $\mathrm{B}$ の重なりは $2<x<a+1$、$2<y\leqq 3$ の部分で（$a^{2}-1\leqq 2$ より $y$ の下端は 2）、面積は $a-1$。
よって、和集合の面積は $3+(8-2a^{2})-(a-1)=12-2a^{2}-a$ で、
$$f(a)=9-(12-2a^{2}-a)=2a^{2}+a-3$$

(3)
$f(a)$ は $a=\sqrt{2}$ で連続で、どちらの式でも $f(\sqrt{2})=1+\sqrt{2}$ である。
$1\leqq a\leqq\sqrt{2}$ では $f'(a)=3a^{2}-4a-1$。$f'(1)=-2<0$、$f'(\sqrt{2})=5-4\sqrt{2}<0$ であり、$f'(a)$ は下に凸の放物線なので、この区間の最大値は端の値で、$f'(a)<0$。よって $f(a)$ は減少する。
$\sqrt{2}\leqq a\leqq\sqrt{3}$ では $f'(a)=4a+1>0$ なので、$f(a)$ は増加する。
したがって、$f(a)$ は $a=\sqrt{2}$ で最小となり、そのときの面積は $1+\sqrt{2}$ である。
答えは $a=\sqrt{2}$。