1山口大学 2022年 数学 第1問解答・解説

変曲点は二階導関数の符号変化で判定する。接線との差の導関数の符号を調べて共有点が P のみであることを示し、0≦x≦1 における差を積分して面積を求める。

(1)

$f'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$、$f''(x)=\dfrac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}$。$f''(x)>0\ (0\leqq x<1)$、$f''(x)<0\ (x>1)$ なので、変曲点は $(1,\log 2)$ である。$f'(1)=1$ より、$P$ における接線は $l:y=x+\log 2-1$。
$g(x)=f(x)-(x+\log 2-1)$ とおくと $g(1)=0$、$g'(x)=f'(x)-1$。$0\leqq x<1$ では $f'$ は増加して $f'(x)<f'(1)=1$、また $x>1$ では $f'$ は減少して $f'(x)<f'(1)=1$。よって $g'(x)<0\ (x\neq 1)$ であるから、$0\leqq x<1$ なら $g(x)>g(1)=0$、$x>1$ なら $g(x)<g(1)=0$。したがって共有点は $P$ のみである。

(2)

求める領域は $0\leqq x\leqq 1$ で $C$ が $l$ の上側にある部分なので、面積 $S$ は
$$S=\displaystyle\int_{0}^{1}\{\log(1+x^{2})-(x+\log 2-1)\}\,dx.$$
$$\displaystyle\int_{0}^{1}\log(1+x^{2})\,dx=\left[x\log(1+x^{2})\right]_{0}^{1}-\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{2x^{2}}{1+x^{2}}\,dx =\log 2-2+2\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{1+x^{2}}.$$
$x=\tan t\ \left(0\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{4}\right)$ とおけば $\dfrac{dx}{1+x^{2}}=dt$ なので、
$$\displaystyle\int_{0}^{1}\log(1+x^{2})\,dx=\log 2-2+\dfrac{\pi}{2}.$$
$$\displaystyle\int_{0}^{1}(x+\log 2-1)\,dx=\log 2-\dfrac{1}{2}.$$
よって $S=\left(\log 2-2+\dfrac{\pi}{2}\right)-\left(\log 2-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\pi-3}{2}$。