2北里大学 2022年 数学 第2問解答・解説

指数関数と一次式の差の導関数を調べて厳密不等式を示し、被積分関数を上下から評価して積分する。

(1) $x=\tan u$（$0\leqq u\leqq \pi/4$）と置換する。商の微分と $\sin^2u+\cos^2u=1$ から $\frac{dx}{du}=\frac{d}{du}\tan u=\frac{1}{\cos^2u}$ であり、$1+x^2=1+\tan^2u=\frac{1}{\cos^2u}$ だから、置換積分により
$$\int_0^1\frac{dx}{1+x^2} =\int_0^{\pi/4}\frac{(1/\cos^2u)\,du}{1/\cos^2u} =\frac\pi4.$$

(2) $g(x)=e^x-1-x$ とおくと、$g(0)=0$、$g'(x)=e^x-1$ である。$x<0$ では $g'(x)<0$ なので、$g$ は $x<0$ で減少し、$g(x)>g(0)=0$。$x>0$ では $g'(x)>0$ なので、やはり $g(x)>g(0)=0$。したがって、$x\ne0$ で
$$e^x>1+x.$$
次に $x\ne0$ なら $x^2>0$ なので、上の不等式を $x^2$ に適用して $e^{x^2}>1+x^2$。両辺は正だから逆数をとると
$$e^{-x^2}<\frac1{1+x^2}.$$

(3) $0<x\leqq1$ で (2) の第1不等式に $-x^2$ を代入すると
$$e^{-x^2}>1-x^2.$$
また (2) の第2不等式から $e^{-x^2}<\frac1{1+x^2}$。これらを $0\leqq x\leqq1$ で積分し、(1) の結果を使えば
$$\int_0^1e^{-x^2}\,dx>\int_0^1(1-x^2)\,dx=\frac23, \qquad \int_0^1e^{-x^2}\,dx<\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi4.$$
よって所望の不等式が成り立つ。左右の被積分関数との不等号は $0<x\leqq1$ で厳密なので、積分後も厳密不等号である。