6東京大学 2022年 数学 第6問解答・解説

$\vec{v}_{k}$ は3周期であり、
$$\vec{v}_{0}=(1,0),\quad \vec{v}_{1}=\left(-\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right),\quad \vec{v}_{2}=\left(-\dfrac{1}{2},\,-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).$$
全投球のうち、裏の回数が $j\pmod{3}$ である時点で表が出た回数を $A_{j}$（$j=0,1,2$）とする。このとき
$$\overrightarrow{\mathrm{OX}_{N}} =A_{0}\vec{v}_{0}+A_{1}\vec{v}_{1}+A_{2}\vec{v}_{2} =\left(A_{0}-\dfrac{A_{1}+A_{2}}{2},\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}(A_{1}-A_{2})\right).$$
したがって $\mathrm{X}_{N}=\mathrm{O}$ となる条件は $A_{0}=A_{1}=A_{2}$ であり、表の総数は $r=3s$ でなければならない。

裏がちょうど $t$ 回出る列について、裏が $k$ 回出た状態で投げる表の回数を $h_{k}$（$0\leqq k\leqq t$）とする。$h_{0},\ldots,h_{t}$ を決めると投球列は一意に決まり、$k$ の各剰余類に属する $h_{k}$ の和が $s$ となる必要がある。

(1)

$N=8$ のとき $r=3s$ は $s=0,1,2$。このとき $t=8-3s=3(2-s)+2$ なので、$k=0,\ldots,t$ には各剰余類ごとに $3-s$ 個の位置がある。1剰余類あたりの分配数は
$${}_{s+(3-s)-1}\mathrm{C}_{(3-s)-1}={}_{2}\mathrm{C}_{s}.$$
したがって、帰還する投球列の個数は
$$\sum_{s=0}^{2}\left({}_{2}\mathrm{C}_{s}\right)^{3}=1+8+1=10.$$
各投球列の確率は $2^{-8}$ だから
$$P(X_{8}=\mathrm{O})=\dfrac{10}{2^{8}}=\dfrac{5}{128}.$$

(2)

$N=200$、$r=3s$（$0\leqq s\leqq66$）とする。裏の回数は
$$t=200-3s=3(66-s)+2$$
であり、$k=0,\ldots,t$ の各剰余類には $67-s$ 個の位置がある。1剰余類に $s$ 個の表を分配する方法は
$${}_{s+(67-s)-1}\mathrm{C}_{(67-s)-1}={}_{66}\mathrm{C}_{s}$$
通りなので、帰還する投球列は $\left({}_{66}\mathrm{C}_{s}\right)^{3}$ 個である。各列の確率は $2^{-200}$ より
$$p_{3s}=2^{-200}\left({}_{66}\mathrm{C}_{s}\right)^{3}.$$
$r$ が $3$ で割り切れないときは $p_{r}=0$。また ${}_{66}\mathrm{C}_{s}$ は $s=33$ のとき最大なので、$p_{r}$ は $r=3\cdot33=99$ で最大となる。