4東北大学 2026年 数学 第4問解答・解説

各8歩の移動列はどれも確率 $4^{-8}$ である。

(1)
右、左、上、下への歩数をそれぞれ $R,L,U,D$ とすると、$(4,0)$ にいる条件は
$$R-L=4,\qquad U=D,\qquad R+L+U+D=8.$$
$L=q$, $U=D=p$ とおくと $q+p=2$。可能な組 $(q,p)$ は $(0,2),(1,1),(2,0)$ で、各移動列の数は
$$\frac{8!}{4!2!2!}=420,\qquad \frac{8!}{5!1!1!1!}=336,\qquad \frac{8!}{6!2!}=28.$$
よって
$$\boxed{P\{P_8=(4,0)\}=\frac{420+336+28}{4^8}=\frac{49}{4096}}.$$

(2)
終点 $(x,y)$ が双曲線上なら
$$(x-y)(x+y)=16.$$
因数を整数で列挙すると、可能な格子点は
$$(4,0),\ (-4,0),\ (5,3),\ (5,-3),\ (-5,3),\ (-5,-3).$$
$(4,0)$ と $(-4,0)$ へはそれぞれ784通り（(1)と対称性）。残り4点は原点からの最短歩数が8で、各点への列は ${}_{8}\mathrm{C}_{5}=56$ 通りである。従って双曲線上に終わる列は
$$2\cdot784+4\cdot56=1792$$
通り、
$$\boxed{P\{P_8\text{ が双曲線上}\}=\frac{1792}{4^8}=\frac7{256}}.$$

(3)
$(4,2)$ までのマンハッタン距離は6。時刻1から7の間に到達するなら時刻6に限られる。時刻6に到達する経路は右4歩・上2歩の並べ方なので ${}_{6}\mathrm{C}_{2}=15$ 通り。

$(4,2)$ から残り2歩で双曲線上に着く終点を調べると、$(4,0)$ と $(5,3)$ だけである。$(4,0)$ へは下・下の1通り、$(5,3)$ へは右・上の並べ方2通り。したがって、条件を満たす全経路は
$$15(1+2)=45$$
通りである。条件付き確率は双曲線上に終わる経路1792通りを分母として
$$\boxed{\frac{45}{1792}}.$$

分類
単元: 場合の数、確率、条件付き確率。
方法: 方向別歩数の連立条件、順列数と組合せによる経路計数、差の平方の因数分解。
テーマ: 格子上の等確率ランダムウォークと、終点条件のもとで特定点を通る確率。