3福島県立医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) 係数は$3k+4\cdot{}_{k}\mathrm{C}_{2}=k(2k+1)$である。
$k$の3で割った余りを調べると必要十分条件は$k\equiv0,1\pmod3$。

(2) 次数4を作る分け方は$4,3+1,2+2,2+1+1,1+1+1+1$なので、係数$C$は
$$\begin{aligned} C&=5k+8k(k-1)+9\cdot{}_{k}\mathrm{C}_{2}\\ &\quad+12k{}_{k-1}\mathrm{C}_{2}+16\cdot{}_{k}\mathrm{C}_{4}\\ &=5k+\frac{k(k-1)(4k^2+16k+27)}6. \end{aligned}$$$$C=5k+8k(k-1)+9\cdot {}_k{\mathrm{C}}_2$$$$+12k{}_{k-1}{\mathrm{C}}_2+16\cdot {}_k{\mathrm{C}}_4$$$$=5k+\frac{k(k-1)(4k^2+16k+27)}{6}.$$
6と5は互いに素である。
$k$の5で割った余り$t=0,1,2,3,4$に対し$4t^2+t+2$の余りは$2,2,0,1,0$。　
よって$C$ は $5$ で割り切れるの必要十分条件は$k\not\equiv3\pmod5$。

(3) 対象の係数は$k/3+{}_{k}\mathrm{C}_{2}/4$。
$k=1,2,3$で$1/3,11/12,7/4$だから、$a(3,1)=3,a(3,2)=12,a(3,3)=4$。

(4) 次数$p-1$を1つの因子から選ぶ項の寄与は$k/p$。
残る項の分母は1から$p-1$までの積なので、素数$p$では割れない。
残りの和を$r/s$（$s$ は $p$ で割り切れない）とおけば
$$C=\frac{k}{p}+\frac rs=\frac{ks+pr}{ps}.$$
約分後の分母に$p$が残るのは$(ks+pr)$ は $p$ で割り切れないの場合だけであり、$s$ は $p$ で割り切れないからこれは$k$ は $p$ で割り切れないと同値。
従って求める条件は$k$ は $p$ で割り切れない。