3富山大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) $z^{3}-z=z(z-1)(z+1)$ は連続する3つの整数の積である。連続する3つの整数のうち、どれか1つは3の倍数なので、積も3の倍数である。よって $P(1)$ は真である。

(2) 次の因数分解が成り立つ。
$$z^{9}-z^{3}=(z^{3}-z)(z^{6}+z^{4}+z^{2})$$
第1因子 $z^{3}-z$ は (1) より3の倍数である。第2因子について、$z$ が3の倍数のときは $z^{6}+z^{4}+z^{2}$ のどの項も3の倍数である。$z$ が3の倍数でないときは $z^{2}$ を3で割った余りが1なので、
$$z^{6}+z^{4}+z^{2}\equiv 1+1+1\equiv 0\pmod 3$$
となる。どちらの場合も第2因子は3の倍数である。よって積は $3\cdot 3=9$ の倍数となり、$P(2)$ は真である。

(3) 数学的帰納法で示す。(1) より $P(1)$ は真である。自然数 $n$ について $P(n)$ が真であると仮定し、$P(n+1)$ が真であることを示す。任意の整数 $z$ に対して $X=z^{3^{n}}$、$Y=z^{3^{n-1}}$ とおく。仮定より $X-Y$ は $3^{n}$ の倍数であり、$n\geqq 1$ より3の倍数でもあるので、$X\equiv Y\pmod 3$ である。このとき
$$z^{3^{n+1}}-z^{3^{n}}=X^{3}-Y^{3}=(X-Y)(X^{2}+XY+Y^{2})$$
が成り立つ。$X\equiv Y\pmod 3$ より
$$X^{2}+XY+Y^{2}\equiv Y^{2}+Y^{2}+Y^{2}=3Y^{2}\equiv 0\pmod 3$$
であるから、$X^{2}+XY+Y^{2}$ は3の倍数である。したがって右辺は $3^{n}\cdot 3=3^{n+1}$ の倍数である。よって $P(n+1)$ も真である。

以上より、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $P(n)$ は真である。