3広島大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1)

漸化式から $c_{5}=117$、$c_{6}=182$。ユークリッドの互除法により、$182=117+65$、$117=65+52$、$65=52+13$、$52=4\cdot13$ となるので、$117$ と $182$ の最大公約数は $13$。

(2)

$n=1$ では $c_{1}=a$、$c_{2}=b$ は奇数、$c_{3}=a+b$ は偶数である。$P_{n}$ が成り立つと仮定する。漸化式より $c_{3n+1}=c_{3n}+c_{3n-1}$ は偶数と奇数の和で奇数、$c_{3n+2}=c_{3n+1}+c_{3n}$ は奇数と偶数の和で奇数、$c_{3n+3}=c_{3n+2}+c_{3n+1}$ は奇数と奇数の和で偶数となる。よって $P_{n+1}$ も成り立つ。数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $P_{n}$ は成り立つ。

(3)

$c_{n}$、$c_{n+1}$ がともに $d$ の倍数であるという命題を $Q_{n}$ とする。$a$、$b$ が $d$ の倍数なので $Q_{1}$ は成り立つ。$Q_{n}$ が成り立てば、$c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}$ も $d$ の倍数なので、$Q_{n+1}$ が成り立つ。数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $c_{n}$ は $d$ の倍数である。

(4)

漸化式を使うと
$$c_{k+3}=c_{k+2}+c_{k+1}=(c_{k+1}+c_{k})+c_{k+1}=c_{k}+2c_{k+1}$$
を得るので、$c_{k+3}\equiv c_{k}\pmod{2}$。$2022=3\cdot674$ より $c_{2022}\equiv c_{3}=a+b\pmod{2}$ である。したがって $c_{2022}$ が奇数ならば $a+b$ も奇数である。