5愛媛大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1)

まず全ての $a_n$ が偶数である。$a_1=2$ は偶数であり、$a_n=2k$ なら
$$a_{n+1}=a_n^2+2=4k^2+2=2(2k^2+1)$$
も偶数だから、帰納法で示される。次に $a_{2m}$ が3の倍数であることを $m$ について示す。基礎として $a_2=2^2+2=6$。$a_{2m}=3p$ と仮定すると $a_{2m+1}=9p^2+2=3q+2$ と書けるので、
$$a_{2m+2}=(3q+2)^2+2=9q^2+12q+6=3(3q^2+4q+2).$$
よって $a_{2m+2}$ は3の倍数。帰納法で全ての $a_{2m}$ は3の倍数であり、既に偶数でもあるから6の倍数である。

(2)

(i) 偽。$a=1$ は自然数だが $\sqrt a=1$ は有理数である。

(ii)

$a$ を自然数とし、$\sqrt a+\sqrt2=r$ が有理数であると仮定する。すると
$$2r\sqrt2=r^2+2-a.$$
もし $r=0$ なら元の式は $\sqrt a+\sqrt2=0$ となり、左辺が正であることに反する。よって $r\ne0$ であり、上式から
$$\sqrt2=\dfrac{r^2+2-a}{2r}\text{ は有理数となる},$$
これは $\sqrt2$ が無理数であることに矛盾する。従って和は無理数。

(3)

垂直二等分線上では $z$ は0と $i$ から等距離なので $|z|=|z-i|$。与式を $z$ について解くと
$$z=\dfrac{w+1}{2-iw},\qquad z-i=\dfrac{1-2i}{2-iw}.$$
したがって等距離条件は
$$|w+1|=|1-2i|=\sqrt5.$$
これは中心 $-1$、半径 $\sqrt5$ の円を表す。ただし $2-iw=0$ に対応する $w=-2i$ では有限の $z$ が存在しない。この点は円上にあり、他の円周上の点では逆式が定義されるため、軌跡はこの円から $w=-2i$ を除いた図形である。