6東北大学 2026年 数学 第6問解答・解説

(1) まず、$A,B,P$ は一直線上にはない。もし一直線上にあれば、相異なる3点 $A,B,P$ が球面 $S$ 上の同一直線上にあることになる。しかし直線を $\vec{x}=\vec{x}_0+t\vec{v}\ (\vec{v}\ne\vec{0})$ と表すと、球面の方程式 $|\vec{x}-\vec{m}|^2=R^2$ は $t$ の二次方程式であり、$t^2$ の係数は $|\vec{v}|^2>0$ だから、直線と球面の共有点は高々2個である。矛盾するので、$A,B,P$ は平面 $\alpha$ を定める。

$\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{OA}$ より $O,A,P$ は一直線上にある。$A\ne P$ なので直線 $AP$ 上に $O$ があり、$O$ は平面 $\alpha$ 上にある。また $B$ は平面 $\alpha$ 上にあるので、$\overrightarrow{OQ}=b\overrightarrow{OB}$ より $Q$ も直線 $OB$ 上にあり、$Q$ は平面 $\alpha$ 上にある。

(2) $S$ の中心を $M$、半径を $R$ とし、位置ベクトルを $\vec{u}=\overrightarrow{OA}$、$\vec{v}=\overrightarrow{OB}$、$\vec{p}=\overrightarrow{OP}=a\vec{u}$、$\vec{q}=\overrightarrow{OQ}=b\vec{v}$、$\vec{m}=\overrightarrow{OM}$ とする。$d=|\vec{m}|^2-R^2$ とおけば、$X$ が $S$ 上にある条件は
$$F(\overrightarrow{OX})=0,\qquad F(\vec{x})=|\vec{x}|^2-2\vec{m}\cdot\vec{x}+d$$
である。

$A,P$ は球面 $S$ 上にあるので
$$0=F(\vec{p})-F(\vec{u})=(a^2-1)|\vec{u}|^2-2(a-1)\vec{m}\cdot\vec{u}.$$
$A\ne P$ より $a\ne1$ なので、$2\vec{m}\cdot\vec{u}=(a+1)|\vec{u}|^2$ を得る。これを $F(\vec{u})=0$ に代入すると
$$d=a|\vec{u}|^2.$$
仮定から $d=b|\vec{v}|^2$ でもある。また $B$ が球面 $S$ 上にあることより $2\vec{m}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|^2+d$ である。したがって
$$F(\vec{q})=b^2|\vec{v}|^2-2b\vec{m}\cdot\vec{v}+d =b^2|\vec{v}|^2-b(|\vec{v}|^2+d)+d =(b-1)(b|\vec{v}|^2-d)=0.$$
よって $Q$ は球面 $S$ 上にある。

$Q$ は直線 $CD$ 上にもある。$C,D$ は相異なる球面上の点であり、直線と球面の共有点は高々2個だから、その直線上の球面上の点は $C,D$ に限られる。ゆえに $Q=C$ または $Q=D$ である。